Strecken ohne zu messen halbieren
Einstieg
Matthias und Holger Kurtzweg wohnen in zwei Häusern auf einem Grundstück. Die Eingänge der Häuser sind mit einem direkten geradlinigen Weg verbunden.
- Die beiden Brüder wollen diesen Weg so erweitern, dass er an die Grundstücksgrenze geführt wird.
- Der Weg soll so verlaufen, dass beide Brüder einen gleich langen Weg zur Straße haben.
Erarbeitung
Aufgabe E1 ( ):
- Zeichne Strecken \(\overline{AB}\) mit den angegebenen Längen in dein Heft.
- Miss den Mittelpunkt aus und markiere diesen mit dem Punkt \(M\).
- Zeichne eine Senkrechte zu \(\overline{AB}\) im Punkt \(M\).
- Überprüfe mithilfe des Geodreiecks
a) 6,4 cm
b) 5,2 cm
c) 8,6 cm
d) 7,8 cm
e) 5,5 cm
f) 7,9 cm
Aufgabe E2 ( ):
Beschreibe oder erkläre, warum alle Punkte mit der gleichen Entfernung zu den Enden der Strecke auf genau einer Geraden liegen. Verwende dabei geometrische Begriffe und Argumente.
Mögliche Begriffsliste
| Punkte | Linie |
| Abstand | Endpunkt |
| Strecke | symmetrisch |
| Mittelpunkt |
Alle Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke den gleichen Abstand haben, liegen auf einer geraden Linie, die sich symmetrisch am Mittelpunkt der Strecke orientiert.
Aufgabe E3 ( ):
Benenne das geometrische Objekt, bei dem alle Punkte von einem bestimmten Punkt aus den gleichen Abstand haben.
Definition: Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die eine Strecke in zwei gleich lange Teile teilt und senkrecht (orthogonal) zu dieser Strecke steht.
Eigenschaften der Mittelsenkrechten:
- Teilt die Strecke mittig: Die Mittelsenkrechte verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke und teilt sie in zwei gleich lange Hälften.
- Senkrecht zur Strecke: Sie steht im rechten Winkel (90 Grad) zur Strecke, die sie teilt.
- Gleich weit von den Endpunkten entfernt: Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten ist von den beiden Endpunkten der Strecke gleich weit entfernt.
Erklärung: Mittelsenkrechte ohne zu messen
Um die Mittelsenkrechte einer gegebenen Strecke zu konstruieren, befolgt man diese Schritte:
- Zeichne die Strecke \(\overline{AB}\).
- Stelle deinen Zirkel auf eine Länge ein, die länger als die halbe Strecke ist (schätzen).
- Zeichne einen Kreis um den den Punkt \(A\) mit dem eingestellten Radius.
- Zeichne einen Kreis um den den Punkt \(B\) mit dem eingestellten Radius.
- Die Schnittpunkte dieser beiden Kreise bezeichnet man mit \(C\) und \(D\).
- Verbinde die Schnittpunkte \(C\) und \(D\) mit einer Strecke oder Geraden.
Diese Linie \(CD\) ist die Mittelsenkrechte der Strecke \(AB\).
Wichtig: Der Zirkel darf zwischendurch nicht verstellt werden!
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1 ( ):
- Konstruiere zu mindestens 7 Strecken \(\overline{AB}\) mit den folgenden Längen die Mittelsenkrechte \(m\) mit gerader Kante und Zirkel.
- Überprüfe mit deinem Geodreieck.
a) 6,2 cm
b) 7,9 cm
c) 8,4 cm
d) 9,6 cm
e) 10,1 cm
f) 11,7 cm
g) 12,5 cm
h) 2,3 cm
i) 3,7 cm
j) 4,5 cm
k) 5,8 cm
l) 13,8 cm
m) 13,2 cm
n) 12,9 cm
Aufgabe 2 ( oder ):
- Ordne die Schritte und sortiere sie in die richtige Reihenfolge.
- Notiere die Schritte in der richtigen Reihenfolge in deinem Heft.
Aufgabe 3: Konstruiere alle Linien auf dem Fußballplatz. Verwende dafür das leere Spielfeld.
- Blaue Linien und Punkte werden mit dem Zirkel konstruiert.
- Rote Linien und Punkte dürfen mit dem Geodreieck gezeichnet werden.
PDF:
Dateidownload (leere Seite)
Dateidownload (mit Zahlen)
Dateidownload (Lösung)
Geogebra:
Dateidownload (Geogebra)
Dateidownload (Geogebra - Lösung)