Lagebeziehung von Geraden in der Ebene
Einstieg
Stellt euch vor, ihr seid Elektriker und müsst Kabel durch eine Wand legen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie die Kabel durch die Wand verlaufen können. Diese unterschiedlichen Anordnungen helfen uns, die Lagebeziehungen von Geraden besser zu verstehen. Schauen wir uns das an einem konkreten Beispiel an:
Aufgabe als Elektriker:
Ihr sollt zwei Kabel durch eine Wand legen, und euer Chef gibt euch verschiedene Vorgaben, wie die Kabel verlaufen sollen. Überlegt euch, welche Möglichkeiten es gibt und wie ihr diese umsetzen könnt.
Aufgabe im Straßenverkehr:
Stellt euch zwei Straßen vor, die sich in einem Stadtgebiet befinden. Wie könnten diese beiden Straßen zueinander verlaufen? Überlegt euch, welche Anordnungen möglich sind und wie diese Anordnungen den Verkehrsfluss beeinflussen könnten.
Diskussion und Fragen:
-
Überlegt euch verschiedene Möglichkeiten, wie die Kabel durch die Wand verlaufen könnten.
- Wie könnten die Kabel verlaufen, ohne sich zu berühren?
- Was passiert, wenn die Kabel sich kreuzen?
- Gibt es Situationen, in denen die Kabel sich in einem bestimmten Winkel kreuzen müssen?
-
Denkt an die Straßen im Stadtgebiet.
- Wie könnten zwei Straßen verlaufen, ohne sich zu schneiden?
- Was passiert, wenn sich die Straßen schneiden? In welchem Winkel könnten sie sich schneiden?
- Welche Auswirkungen haben verschiedene Straßenverläufe auf den Verkehr?
Praktische Aufgabe:
Nehmt euch ein Blatt Papier und zeichnet zwei Linien, die unterschiedliche Lagebeziehungen zueinander haben. Diskutiert in Gruppen, welche verschiedenen Möglichkeiten ihr gefunden habt und was sie bedeuten könnten. Versucht dabei, so viele verschiedene Anordnungen wie möglich zu finden.
Reflexion:
- Warum ist es wichtig für einen Elektriker, die Lage der Kabel genau zu planen?
- Welche Herausforderungen können im Straßenverkehr durch unterschiedliche Straßenverläufe entstehen?
Definition: Senkrecht
Senkrecht bezeichnet die Beziehung zwischen zwei geraden Linien, die einen rechten Winkel (90 Grad) zueinander bilden. Wenn zwei Linien senkrecht zueinander stehen, schneiden sie sich in einem Punkt, und die Winkel, die sie dabei bilden, sind alle rechte Winkel. Diese Eigenschaft wird auch als orthogonal bezeichnet.
In der Geometrie wird das Symbol \(\perp\) verwendet, um die Senkrechtstellung zu kennzeichnen.
Beispiel: \(a \perp b\) bedeutet, dass die Linie \(a\) senkrecht zur Linie \(b\) steht.
Senkrecht überprüfen
-
Überprüfung durch Anlegen des rechten Winkels:
- Lege das Geodreieck mit der 90°-Ecke an den Scheitel des Winkels an.
- Wenn beide Schenkel entlang der kurzen Seiten des Geodreiecks verlaufen, liegt eine Orthogonalität vor.
-
Überprüfung durch die Messung der Winkel:
- Lege das Geodreieck mit dem Nullpunkt an den Sccheitelpunkt an, so dass ein Schenkel entlang des Lineals verläuft.
- Wenn der zweite Schenkel entlang der 90°-Markierung innerhalb des Geodreiecks verläuft, liegt eine Orthogonalität vor.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Zeichne die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) ein. Verbinde die Punkte \(A\) und \(B\) zur ersten Geraden und die Punkte \(C\) und \(D\) zur zweiten Geraden. Überprüfe visuell, ob sich die beiden Geraden im rechten Winkel schneiden.
a)
Gerade 1: \(A(1,2)\), \(B(4,5)\)
Gerade 2: \(C(3,1)\), \(D(3,4)\)
b)
Gerade 1: \(A(2,3)\), \(B(6,7)\)
Gerade 2: \(C(5,2)\), \(D(7,4)\)
c)
Gerade 1: \(A(1,1)\), \(B(5,2)\)
Gerade 2: \(C(2,3)\), \(D(4,1)\)
d)
Gerade 1: \(A(3,4)\), \(B(6,8)\)
Gerade 2: \(C(4,2)\), \(D(7,5)\)
e)
Gerade 1: \(A(2,2)\), \(B(5,3)\)
Gerade 2: \(C(3,1)\), \(D(6,4)\)
f)
Gerade 1: \(A(1,3)\), \(B(4,6)\)
Gerade 2: \(C(2,4)\), \(D(5,7)\)
g)
Gerade 1: \(A(3,3)\), \(B(7,5)\)
Gerade 2: \(C(4,2)\), \(D(6,6)\)
h)
Gerade 1: \(A(2,4)\), \(B(5,8)\)
Gerade 2: \(C(3,2)\), \(D(6,5)\)
Aufgabe 2: Zeichne die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte \(A\) und \(B\). Konstruiere anschließend die zugehörige Senkrechte durch den dritten Punkt \(C\).
a) \(A(1,2)\), \(B(4,5)\) und \(C(3,1)\).
b) \(A(2,3)\), \(B(6,7)\) und \(C(5,2)\)
c) \(A(2,1)\), \(B(2,3)\) und \(C(0,0)\)
d) \(A(3,1)\), \(B(6,2)\) und \(C(4,0)\)
e) \(A(0,0)\), \(B(3,3)\) und \(C(1,2)\)
f) \(A(3,2)\), \(B(1,5)\) und \(C(1,3)\)
g) \(A(2,2)\), \(B(5,5)\) und \(C(4,1)\)
h) \(A(1,1)\), \(B(2,1)\) und \(C(0,2)\)
i) \(A(1,1)\), \(B(4,4)\) und \(C(2,0)\)
j) \(A(2,3)\), \(B(1,0)\) und \(C(0,1)\)
k) \(A(3,3)\), \(B(6,4)\) und \(C(5,2)\)
l) \(A(3,0)\), \(B(0,3)\) und \(C(1,1)\)
Definition: Parallel
Zwei Linien \(f\) und \(h\) sind parallel, wenn sie beide senkrecht zu einer dritten Linie \(g\) stehen. Das bedeutet, wenn \(f \perp g\) und \(g \perp h\) gilt, folgt daraus, dass \(f\) und \(h\) parallel zueinander sind.
Symbolisch wird Parallelität durch das Symbol \(\parallel\) dargestellt. Man schreibt \(f \parallel h\)
Aufgaben / Übung
Aufgabe 3: Zeichne die beiden Geradenpaare in einem Koordinatensystem und überprüfe visuell die Parallelität.
a)
Gerade 1: \(A(2,3)\), \(B(5,6)\)
Gerade 2: \(C(3,4)\), \(D(6,7)\)
b)
Gerade 1: \(A(1,2)\), \(B(4,4)\)
Gerade 2: \(C(2,3)\), \(D(5,6)\)
c)
Gerade 1: \(A(0,0)\), \(B(3,4)\)
Gerade 2: \(C(1,2)\), \(D(4,5)\)
d)
Gerade 1: \(A(2,2)\), \(B(3,5)\)
Gerade 2: \(C(6,7)\), \(D(5,6)\)
e)
Gerade 1: \(A(1,3)\), \(B(3,6)\)
Gerade 2: \(C(2,6)\), \(D(5,7)\)
f)
Gerade 1: \(A(3,1)\), \(B(4,4)\)
Gerade 2: \(C(4,2)\), \(D(7,5)\)
g)
Gerade 1: \(A(0,2)\), \(B(3,5)\)
Gerade 2: \(C(1,3)\), \(D(4,6)\)
h)
Gerade 1: \(A(2,4)\), \(B(5,7)\)
Gerade 2: \(C(3,5)\), \(D(6,8)\)
Aufgabe 4: Zeichne die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte \(A\) und \(B\). Konstruiere anschließend die parallele Gerade durch den dritten Punkt \(C\).
a)
Gerade: \(A(1,2)\), \(B(2,5)\)
Punkt: \(C(2,1)\)
b)
Gerade: \(A(2,3)\), \(B(4,7)\)
Punkt: \(C(5,2)\)
c)
Gerade: \(A(0,1)\), \(B(6,4)\)
Punkt: \(C(1,0)\)
d)
Gerade: \(A(3,4)\), \(B(6,2)\)
Punkt: \(C(2,2)\)
e)
Gerade: \(A(0,2)\), \(B(5,5)\)
Punkt: \(C(3,3)\)
f)
Gerade: \(A(1,1)\), \(B(4,6)\)
Punkt: \(C(2,1)\)
g)
Gerade: \(A(0,1)\), \(B(3,6)\)
Punkt: \(C(1,1)\)
h)
Gerade: \(A(2,3)\), \(B(5,3)\)
Punkt: \(C(3,2)\)