Mit dem Papier bis zum Mond
Einstieg - "Die große Papier-Expedition zum Mond"
Stellt euch vor, ihr seid Teil eines Wissenschaftsteams, das eine unglaubliche Mission hat: einen Weg zu finden, um einen Turm aus Kopierpapier bis zum Mond zu bauen! Ihr wisst bereits, dass es 4.398.046.511.104 Blätter normalen Kopierpapiers brauchen würde, um diese gigantische Entfernung zu überbrücken. Aber es gibt sicherlich noch andere, kreative Wege, um so viele Papierschichten zu erreichen, ohne sie einfach nur übereinander zu stapeln.
Eure Aufgabe ist es jetzt, alternative Methoden zu entwickeln, um diese enorme Anzahl von Papierblättern zu „verwenden“. Denkt dabei an die Prinzipien von Physik, Kunst, und vielleicht sogar an magische oder futuristische Ideen. Wie könntet ihr den Papierstapel konstruieren, sodass er bis zum Mond reicht?
Ihr dürft Zeichnungen, Diagramme oder Modelle verwenden, um eure Ideen zu präsentieren. Denkt groß und seid kreativ – es gibt keine Grenzen, außer eurer Vorstellungskraft! Wer weiß, vielleicht entdeckt ihr eine Methode, die in der Zukunft tatsächlich genutzt werden könnte!
Hinweise zur Diskussion und Forschung:
- Betrachtet die Eigenschaften von Papier und wie diese unter verschiedenen Bedingungen verändert werden könnten.
- Überlegt, wie Wissenschaft, Technik und sogar Kunst euch helfen können, eine Lösung zu finden.
- Denkt darüber nach, welche Rolle Nachhaltigkeit und Umweltbewusstsein bei dieser Aufgabe spielen könnten.
Erarbeitung
Aufgabe 1 ( ): Auf der Lerntheke liegen Papiere in verschiedenen Formaten. Nimm dir mindestens eine Art Papier.
a) Falte das Papier jeweils immer, indem du es Ecke auf Ecke halbierst.
b) Notiere für jedes Papier, wie oft du es falten konntest.
Aufgabe 2 ( / ): Findet heraus, wie sich die Anzahl der Papierschichten verändert, wenn du die Fläche halbierst.
Fertige mit deinem Partner eine Tabelle an und notiere darin die folgenden Informationen:
- Anzahl der Faltungen
- Anzahl der Papierschichten
Formuliere eine Regel, mit der man die nächste Zahl der Zahlenfolge berechnen kann.
Klärt, ob es möglich ist, das Papier so oft zu falten, dass der Mond mit dem Papierturm erreicht wird.
| Faltungen | Papierschichten | Rechnung |
|---|---|---|
| 0 | 1 | |
| 1 | 2 | |
| 2 | \(\ldots\) | |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) |
Ergebnissicherung
| Faltungen | Papierschichten | Rechnung | |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \(1\) | |
| 1 | 2 | \(2\) | |
| 2 | 4 | \(2 \cdot 2\) | |
| 3 | 8 | \(2 \cdot 2 \cdot 2\) | |
| 4 | 16 | \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) | |
| Karton | 5 | 32 | \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) |
| 6 | 64 | \(\ldots\) | |
| Papier | 7 | 128 | \(\ldots\) |
| Backpapier | 8 | 256 | \(\ldots\) |
Definition: Potenzen
Das Produkt aus gleichen Faktoren kann als Potenz geschrieben werden.
Das Produkt \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \) kann kürzer als \(2^5\) geschrieben werden.
Man spricht "2 hoch 5".
\[\underbrace{4^6}_\textrm{Potenz} = \underbrace{4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4}_\textrm{Produkt} = \underbrace{4096}_\textrm{Potenzwert}\]
Beispiele:
\[2^7 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 128\]
\[11^2 = 11 · 11 = 121\]
\[3^4 = 3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\]
Bezug zur Aufgabe:
\[2^{42} = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{42\times }= 4.398.046.511.104\]
Aufgabe 3: Schreibe als Potenz.
a) \(1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1=\square\)
b) \(2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 \cdot2 =\square\)
c) \(5 \cdot5 \cdot5 \cdot5 \cdot 5= \square\)
d) \(10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot 10=\square\)
e) \(4 \cdot4 \cdot4 \cdot4 \cdot4 \cdot4\cdot4\cdot4=\square\)
f) \(x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=\square\)
Aufgabe 4: Schreibe als Produkt.
a) \(2^5=\square\)
b) \(6^7 =\square\)
c) \(5^3= \square\)
d) \(y^6=\square\)
e) \(z^{10}=\square\)
Aufgaben / Übung
Aufgabe 5: Schreibe die Produkte als Potenzen.
Beispiel: \[\overbrace{\underbrace{5}_{Grundzahl} \cdot 5\cdot5 \cdot5}^\textrm{Hochzahl (Anzahl)} =\overbrace{5^4}^\textrm{Potenz}\]
a) \(7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7=\square\)
b) \(23 \cdot23 \cdot23 \cdot23 \cdot23 \cdot23 =\square\)
c) \(17 \cdot17 \cdot17 \cdot17= \square\)
d) \(101\cdot101\cdot101\cdot101\cdot101=\square\)
e) \(51 \cdot51 \cdot51 \cdot51 \cdot51 \cdot51=\square\)
Aufgabe 6: Schreibe als Produkt und berechne den Potenzwert.
| a) \(7^2= \square\) | g) \(5^4= \square\) |
| b) \(9^2= \square\) | h) \(3^4= \square\) |
| c) \(12^2= \square\) | i) \(3^5= \square\) |
| d) \(4^3= \square\) | j) \(10^3= \square\) |
| e) \(5^3= \square\) | k) \(10^5= \square\) |
| f) \(4^4= \square\) | l) \(10^6= \square\) |
Aufgabe 7: Schreibe als Potenz mit der Basis (Grundzahl) 10.
Beispiel: \(10.000 = 10 \cdot 10 \cdot10 \cdot10 =10^4\)
a) \(10=\square\)
b) \(100=\square\)
c) \(1.000=\square\)
d) \(100.000=\square\)
e) \(1.000.000=\square\)
f) \(1.000.000.000=\square\)
Aufgabe 8: Schreibe als Produkt und als Potenz mit der Basis 2.
Beispiel: \(16 =2 \cdot 2\cdot2 \cdot2 =2^4\)
a) \(2=\square\)
b) \(4=\square\)
c) \(8=\square\)
d) \(32=\square\)
e) \(64=\square\)
f) \(128=\square\)
Aufgabe Ü1: Schreibe als Potenz. Berechne bei * den Termwert.
a*) \(7 \cdot 7 \cdot 7 = \square^\square = \square\)
b*) \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = \square^\square = \square\)
c*) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = \square^\square = \square\)
d) \(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = \square^\square\)
e!) \(a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b =\)
a*) \(7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3 = 343\)
b*) \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 = 1296\)
c*) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{10} = 1024\)
d) \(x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^7\)
e!) \(a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b = a^4 \cdot b^3\)
Aufgabe Ü2: Schreibe als Multiplikation. Berechne bei * den Termwert.
a*) \(2^8 = \square\)
b*) \(3^5 = \square\)
c*) \(4^3 = \square\)
d) \(8^4 = \square\)
e) \(a^{11} = \square\)
a*) \(2^8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 256\)
b*) \(3^5 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 243\)
c*) \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\)
d) \(8^4 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 4096\)
e) \(a^{11} = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a\)
Aufgabe 9 ( ):
a) Berechne die Anzahl der Elternteile, Großelternteile, Urgroßelternteile und Ururgroßelternteile eines beliebigen Menschen.
b) Berechne die Anzahl der Vorfahren vor 10 Generationen.
c) Berechne, vor wie vielen Jahren deine Urgroßeltern geboren wurden, wenn zwischen der Geburt der Eltern und der Geburt der Kinder etwa 30 Jahre liegen.
d) Stelle das ganze auf einem gemeinsamen Plakat mit deinem dar.
| Anzahl | Potenz | ||
|---|---|---|---|
| aktuelle (0.) Generation | \(1\) | \(\) | \(x\) (dein Alter) |
| vor 1 Generationen | \(\) | \(\) | \(\) |
| vor 2 Generationen | \(\) | \(\) | \(\) |
| vor 3 Generationen | \(\) | \(\) | \(\) |
| vor 4 Generationen | \(\) | \(\) | |
| vor 5 Generationen | \(\) | \(\) | |
| vor 6 Generationen | \(\) | \(\) | |
| vor 7 Generationen | \(\) | \(\) | |
| vor 8 Generationen | \(\) | \(\) | |
| vor 9 Generationen | \(\) | \(\) | |
| vor 10 Generationen | \(\) | \(\) | \(\) |
| Anzahl | Potenz | ||
|---|---|---|---|
| aktuelle (0.) Generation | \(1\) | \(2^0\) | \(x\) (dein Alter) |
| vor 1 Generationen | \(2\) | \(2^1\) | \(30 + x\) |
| vor 2 Generationen | \(4\) | \(2^2\) | \(60 + x\) |
| vor 3 Generationen | \(8\) | \(2^3\) | \(90 + x\) |
| vor 4 Generationen | \(16\) | \(2^4\) | |
| vor 5 Generationen | \(32\) | \(2^5\) | |
| vor 6 Generationen | \(64\) | \(2^6\) | |
| vor 7 Generationen | \(128\) | \(2^7\) | |
| vor 8 Generationen | \(256\) | \(2^8\) | |
| vor 9 Generationen | \(512\) | \(2^9\) | |
| vor 10 Generationen | \(1024\) | \(2^{10}\) |
Aufgabe 10 ( ):
Für Papier gibt es in Deutschland festgelegte Größen und Bezeichnungen . Wird ein Blatt A0 in der Mitte der längeren Seite geteilt, entsteht ein Blatt A1, teilt man dieses wieder in der Mitte, so entsteht ein Blatt A2 usw. Ein Blatt A6 hat die Größe einer Postkarte.
Berechne die Anzahl der Postkarten, die auf ein Blatt der Größe A0 passen.
Ergänzung
Eine beliebige Zahl (außer der 0) hoch 0 hat den Wert 1.
\[\huge a^0 = 1 \textrm{ für } a \neq 0\]
Beispiel:
- \(2^0 = 1\)
- \(5^0 = 1\)
- \(17^0 = 1\)
- \(1.000.000.000 ^0 = 1\)
Aufgabe 11: Übertrage die Tabellen in dein Heft und ergänze die Termwerte.
a) Quadratzahlen
| Potenz | \(1^2\) | \(2^2\) | \(3^2\) | \(4^2\) | \(5^2\) | \(6^2\) | \(7^2\) | \(8^2\) | \(9^2\) | \(10^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Termwert |
| Potenz | \(11^2\) | \(12^2\) | \(13^2\) | \(14^2\) | \(15^2\) | \(16^2\) | \(17^2\) | \(18^2\) | \(19^2\) | \(20^2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Termwert |
b) Kubikzahlen
| Potenz | \(1^3\) | \(2^3\) | \(3^3\) | \(4^3\) | \(5^3\) | \(6^3\) | \(7^3\) | \(8^3\) | \(9^3\) | \(10^3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Termwert |
c) Zweierpotenzen
| Potenz | \(2^0\) | \(2^1\) | \(2^2\) | \(2^3\) | \(2^4\) | \(2^5\) | \(2^6\) | \(2^7\) | \(2^8\) | \(2^9\) | \(2^{10}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Termwert |
d) Dreierpotenzen
| Potenz | \(3^0\) | \(3^1\) | \(3^2\) | \(3^3\) | \(3^4\) | \(3^5\) | \(3^6\) | \(3^7\) | \(3^8\) | \(3^9\) | \(3^{10}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Termwert |
Hausaufgabe:
- Quadratzahlen von \(1^2\) bis \(20^2\) auswendig lernen.
- Zweierpotenzen von \(2^0\) bis \(2^{10}\) auswendig lernen.
Aufgabe 12: Schreibe als Produkt und berechne für a) bis j) zusätzlich auch den Potenzwert.
a) \(2^3 \cdot 3^2= \square\)
b) \(4^2 \cdot 5^3= \square\)
c) \(6^2 \cdot 2^4= \square\)
d) \(3^4 \cdot 4^2= \square\)
e) \(5^2 \cdot 2^5= \square\)
f) \(7^3 \cdot 3^2= \square\)
g) \(2^6 \cdot 6^2= \square\)
h) \(3^5 \cdot 5^3= \square\)
i) \(4^4 \cdot 2^3= \square\)
j) \(5^5 \cdot 3^3= \square\)
k) \(a^2 \cdot b^3= \square\)
l) \(x^3 \cdot y^2= \square\)
Aufgabe 13: Schreibe als Produkt aus Potenzen.
a) \(6 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = \square\)
b) \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = \square\)
c) \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = \square\)
d) \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = \square\)
e) \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = \square\)
f) \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = \square\)
g) \(6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = \square\)
h) \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = \square\)
i) \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = \square\)
j) \(6 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 5 = \square\)
k) \(a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b = \square\)
l) \(x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y = \square\)
Weitere Übungen
Westermann Mathematik 5 MV (2022)
| Thema | Buch | Arbeitsheft |
|---|---|---|
| Potenzieren | S. 64 | 2, 3, 4, 5, 7, 8 S. 64 | 5 | S. 19 | 1 - 6 S: 19 | 7 - 10 |
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Dreifach Mathe
| Thema | * | ** | *** |
|---|---|---|---|
| Potenzen | S. 144 | 1 – 4 | S. 144 | 1 – 4 | S. 144 | 1 – 4 |