Ungleichungen
Einstieg
Aufgabe 1: Ein rechteckiger Acker hat die Seitenlängen 10 Meter und 15 Meter. Es stehen insgesamt 40 Meter Zaun zur Verfügung, um einen Teilbereich mit einem Zaun zu versehen. Die beiden kurzen Seiten sollen auf jeden Fall mit dem Zaun geschützt werden. Zusätzlich auch die lange Rückseite.
Welche Zaunlängen sind für die längere Ackerseite möglich und denkbar?
a) Zeichne das Rechteck im kleineren Verhältnis in dein Heft Verwende die Seitenlängen a = 5cm und b = 7,5cm.
b) Stelle entsprechende Ausdrücke auf und löse.
c) Wie lang kann die Zaunseite höchstens sein?
d) Formuliere eine Lösungsmenge für das Problem.
Erarbeitung
Aufgabe 2:
a) Gib für jede Ungleichung 3 ganze Zahlen an, die als Lösung in Frage kommen.
b) Überprüfe deine Lösungen, indem du eine Probe durchführst.
c) Gib eine äquivalente Gleichung an, die die Lösung beschreibt.
Hinweis: Versuche erst eine Lösung für eine Gleichung mit einem Gleichheitszeichen zu finden.
| a) \(2x - 5 > 13 \) | b) \(3x + 7 < 22 \) |
| c) \(4x - 3 < 25 \) | d) \(5x + 8 > 43 \) |
Lösung:
| \(x > 9\) | \(x < 5\) |
| \(x < 7\) | \(x > 7\) |
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Aufgabe 3: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Definition: Ungleichung
Eine Ungleichung ist ein mathematischer Ausdruck, bei dem zwei Terme mittels eines Vergleichsoperators verknüpft werden.
Beispiel
| \[\begin{align*}5x + 7 &\geq 2x + 22&&|-7\\5x&\geq 2x + 15 &&|-2x\\3x &\geq15 &&|:3\\x &\geq 5 \\ \\\mathbb{L} &= \left\{x \in \mathbb{Q} \ | \ x \geq 5\right\}\end{align*}\] | Die Lösungsmenge beinhaltet alle Zahlen
|
Liste der Vergleichsoperatoren für Ungleichungen:
| \(<\) | (kleiner als) |
| \(>\) | (größer als) |
| \(\leq\) | (kleiner oder gleich) |
| \(\geq\) | (größer oder gleich) |
| \(\neq\) | (nicht gleich / ungleich) |
Übung
Aufgabe Ü1: Formuliere jeweils die Lösungsmenge.
a) \(x > 9\)
b) \(x < 5\)
c) \(x \leq 7\)
a) \(\mathbb{L} = \left\{x \in \mathbb{Q}| x > 9\right\} \)
b) \(\mathbb{L} = \left\{x \in \mathbb{Q}| x < 5\right\} \)
c) \(\mathbb{L} = \left\{x \in \mathbb{Q}| x \leq 7\right\} \)
Aufgaben / Übung [TIMER:3600]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb;43;unterster Kasten;Lb**;41;2; Lb**;42;7 - 10;Lb**;42;12 - 13;Ah;16;1 - 2;]
Aufgabe 4: ( )Gib die Lösungsmenge und den Rechenweg an.
| a) \(2x + 3 < 7 \) | b) \(3x - 5 > 1 \) |
| c) \(4x + 2 \leq 6 \) | d) \(5x - 2 \geq 3 \) |
| e) \(6x - 4 < -22\) | f) \(7x - 8 > -1 \) |
| g) \(8x + 3 < -13 \) | h) \(9x + 4 \geq 31 \) |
| i) \(10x - 2 \leq 28 \) | j) \(11x + 1 > -10\) |
Lösung:
| \(x < -3\) | \(x < -2\) |
| \(x > -1\) | \(x > 1\) |
| \(x \leq 1\) | \(x \geq 1\) |
| \(x < 2\) | \(x > 2\) |
| \(x \geq 3\) | \(x \leq 3\) |
Aufgabe 5 ( ): Berechne die Lösungsmenge.
| a) \(2x + 3 > 5x \) | b) \(3x - 5 < 6x + 1 \) |
| c) \(-4x + 4 \leq 2x - 8 \) | d) \(5x + 1 \geq 2x + 7 \) |
| e) \(-6x - 25 < 3x + 2 \) | f) \(7x - 8 > 2x - 3 \) |
| g) \(-7x + 3 < 1x - 5 \) | h) \(9x + 4 \geq 3x + 22 \) |
| i) \(10x - 2 \leq 2x + 30 \) | j) \(-2x - 1 > 1x – 7\) |
Lösung:
| \(x >1 \) | \(x < 2\) |
| \(x > -3\) | \(x < 1\) |
| \(x \geq 3\) | \(x \geq 2\) |
| \(x > 1\) | \(x \geq 2\) |
| \(x \leq 4\) | \(x > -2\) |