Zum Hauptinhalt springen Skip to page footer
spenglerschule logo spenglerschule logo

Gleichungen mit x im Nenner

Einstieg

Aufgabe 1: Der ICE erreicht auf der 540 Kilometer langen Strecke von Köln nach Berlin eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h.

Arno und Anika sollen für ein Schulprojekt die Zeit ermitteln, die der Zug für diese Strecke benötigt. Im Physikbuch haben sie die folgende Formel gefunden, bei der man die Geschwindigkeit mithilfe einer Streckenangabe und der Angabe der Zeit berechnet:

\[\textrm{Geschwindigkeit} = \frac{\textrm{Strecke}}{\textrm{Zeit}}\]

a) Stelle eine Gleichung auf, bei der du die gegebenen Angaben einsetzt und die gesuchte Größe mit x bezeichnest.

b) Löse die Gleichung nach x, indem du die dir bekannten Regeln zur Äquivalenzumformung anwendest.

\[120 = \frac{540}{x}\]

\[\begin{align*}120 &= \frac{540}{x} &&|\cdot x\\ \\120x &= 540 &&|:120 \\ \\x &= \frac{540}{120} \\ \\x &= \frac{9}{2} \\ \\\mathbb{L} &= \left\{\frac{9}{2}\right\}\end{align*}\]

Aufgabe 2: Übertrage den Merkkasten in dein Heft. Lasse ausreichend Platz für ein Beispiel (folgt im Anschluss).

Definition: Bruchgleichung

Eine Gleichung, bei der die Variable unter dem Bruchstrich steht, heißt Bruchgleichung.

Bruchgleichungen haben die Einschränkung, dass nicht alle Zahlen gültig in die Gleichung eingesetzt werden können, da eine Division durch die Zahl 0 mathematisch nicht definiert ist.

Man muss den Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) aller gültigen Zahlen für die Bruchgleichung vorher festlegen.

Erklärung

Zum Lösen einer Bruchgleichung müssen alle Variablenvorkommen, die unter einem Bruchstrich vorkommen, mithilfe einer Multiplikation über den Bruchstrich befördert werden.

\[\frac{15}{x-4} = 5\]

Das Einsetzen der natürlichen Zahl 4 führt zu einem mathematischen Fehler, da 4-4 den Wert 0 annimmt. Man muss die Zahl 4 aus der Definitionsmenge der Gleichung ausschließen oder „die Gleichung ist für die Zahl 4 nicht definiert“

Man schreibt:

\[\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{4\}\]

Man spricht es: Die Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) besteht aus allen rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) außer der Zahl 4.

Beispiel

\begin{align*}\mathbb{D} &= \mathbb{Q} \setminus \{4\}\\ \\ \\\frac{15}{x-4} &= 5 &&|\cdot(x-4) \\ \\\frac{15 \cdot(x-4)}{(x-4)} &= 5 \cdot (x-4) \\ \\15 &= 5 \cdot (x-4)\\15 &= 5x - 20 &&|+20 \\35&=5x &&|:5 \\7 &= x \\ \\\mathbb{L} &= \left\{7\right\}\end{align*}

Aufgaben / Übung

Aufgabe 3: Gib für jede Gleichung den Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) an.

a) \(\frac{16}{x+3}=4\)b) \(\frac{15}{7-x}=3\)
c) \(\frac{12}{2x-6}=3\)d) \(\frac{18}{3x+21}=2\)

Lösung:

\(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\left\{-3\right\}\)\(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\left\{7\right\}\)
\(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\left\{3\right\}\)\(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\left\{-7\right\}\)

Aufgabe 4: Bestimme die Definitionsmenge der Gleichung. Berechne anschließend die Lösungsmenge und begründe diese schriftlich.

\[\frac{3x-3}{x-1}=2\]

Aufgabe 5: Bestimme den Definitionsbereich und bestimme anschließend die Lösungsmenge. Überprüfe, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt.

a)\(\frac{7}{x-3}=1 \)b)\(\frac{20}{9-x}=5 \)
c)\(\frac{4}{x-1}=1 \)d)\(\frac{8}{x+3}=2 \)
e)\(\frac{3x}{x+2}=2 \)f)\(\frac{5x}{x+9}=2 \)
g)\(6 = \frac{8x}{x+2} \)h)\(2=\frac{x+3}{x-1}\)
i)\(8=\frac{6x}{2+x} \)j)\(4=\frac{x+10}{x+1}\)

Lösung:

\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-9\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-3\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-2\}\)
\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{-1\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{2\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{2\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{3\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \{9\}\)
\(\mathbb{L} = \left\{-8\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{1\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{2\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{4\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{5\right\}\)
\(\mathbb{L} = \left\{5\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{5\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{6\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{6\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{10\right\}\)

[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb**;39;3 - 5;Lb;40;8 - 9;Ah;15;1 - 2;]

Aufgabe 6: Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge.

a)\(\frac{x}{9} = \frac{3}{17}\)b)\(\frac{x}{10} = \frac{5}{2} \)
c)\(\frac{1}{7} = \frac{x}{23} \)d)\(\frac{5}{8} = \frac{x}{24} \)
e)\(\frac{14}{6} = \frac{x}{11} \)f)\(\frac{11}{9} = \frac{21}{x}\)
g)\(\frac{34}{x} = \frac{15}{7} \)h)\(\frac{10}{x} = \frac{5}{3} \)
i)\(\frac{9}{x} = \frac{3}{17} \)j)\(\frac{7}{8} = \frac{8}{x} \)

Aufgabe 7 (): Stelle zunächst die Definitionsmenge \(\mathbb{D}\) auf und berechne anschließend die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\)

a) \( \frac{2}{x-1}=\frac{5}{x+2} \)b) \( \frac{3}{x-4}=\frac{7}{x-1} \)
c) \( \frac{4}{2-x}=\frac{1}{x+3} \)d) \( \frac{5}{x-2}=\frac{3}{3-x} \)
e) \( \frac{6}{x+1}=\frac{4}{x-5} \)f) \( \frac{7}{x-3}=\frac{2}{x+2} \)
g) \( \frac{8}{x-4}=\frac{9}{x+1} \)h) \( \frac{9}{x-5}=\frac{3}{2-x} \)
i) \( \frac{8}{3-x}=\frac{12}{x+4} \)j) \( \frac{11}{x-2}=\frac{12}{x+1} \)

Lösung:

\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{2, -3 \right\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{4, -1 \right\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{4, 1 \right\}\)
\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{-1, 5 \right\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{3, -4 \right\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{1, -2 \right\}\)
\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{5, 2 \right\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{2, 3 \right\}\)\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{3, -2 \right\}\)
\(\mathbb{D} = \mathbb{Q} \setminus \left\{2, -1 \right\}\)  
\(\mathbb{L} = \left\{ -4\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{ -2\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{ 0,2 \right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{ 2,625 \right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{ 2,75 \right\}\)
\(\mathbb{L} = \left\{ 3 \right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{ 6,25 \right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{ 17 \right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{ 35\right\}\)\(\mathbb{L} = \left\{ 44\right\}\)