Gleichungen mit Klammern
Einstieg
Aufgabe 1: Gib alle Variablenbelegungen an, die unabhängig dafür sorgen können, dass der Flächeninhalt der Figur den Wert 0 annimmt.
a) Ein Rechteck \(\square ABCD\) mit den Seiten \(a\) und \(b\)
b) Ein Kreis mit dem Radius \(r\).
Erarbeitung
Aufgabe 2: Setze jeweils Zahlen so ein, dass das Ergebnis der Gleichung 0 ist.
| a) \(\square \cdot 6 = 0\) |
| b) \(3 \cdot \square = 0\) |
| c) \(17 \cdot (4 - \square) = 0\) |
| d) \((\square + 1) \cdot 11 = 0\) |
Aufgabe 3:
Formuliere eine allgemeingültige Regel über Produkte mit dem Ergebnis 0.
„Ein Produkt ist gleich Null, wenn …“
[TIMER:180]
Aufgabe 4: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Aufgaben / Übung [TIMER:3600]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb**;36;1 - 5;Ah;11;5;]
Aufgabe 5: Gib die Lösungsmenge an. Überprüfe die Lösungen mithilfe der Probe.
| a) \((x−5)(x−6)=0\) | b) \((x+3)(x+5)=0\) |
| c) \((x+2)(x−2)=0\) | d**) \((7−x)(2x−4)=0\) |
| e) \((5−x)(x+11)=0\) | f**) \((x−\frac{1}{2})(\frac{1}{3}-x)=0\) |
Aufgabe 6:
a) Gib einen Term zur Berechnung des grauen Flächeninhalts an.
b) Klammere möglichst viel aus.
c) Berechne den Flächeninhalt für \(x=2 \ cm\) und \(y=7 \ cm\).
Aufgabe 7: Bestimme die Lösungsmenge, indem du alle Klammern auflöst. Überprüfe, indem du die Probe durchführst.
| a) \((x+2)(x+9) = (x+3)(x+6)\) |
| b) \((x+4)(x+7) = (x+1)(x+12)\) |
| c) \((x+5)(x+8) = (x+2)(x+14)\) |
| d) \((x+3)(x+4) = (x−2)(x+11)\) |
| e) \((x−3)(x+6) = (x−1)(x+2)\) |
| f) \((x−5)(x−7) = (x+1)(x−13)\) |
Lösungen:
| \(\mathbb{L} = \left\{0\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{8\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{4\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{17\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{8\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{\right\}\) |
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb***;36;6 - 7;Ah**;11;6;]
Beispiel (Anwendungsaufgaben)
Aufgabe S1:
Von einem 900 g schweren Käse werden 25 Scheiben abgeschnitten. Ein Block mit 400 g bleibt übrig. Berechne die Masse jeder Scheibe.
Gegeben:
\[900 \ g−25x=400 \ g\]
Gesucht:
Masse einer Käsescheibe \(x\) in Gramm.
Rechnung:
\[\begin{align*}900 - 25x &= 400 &&\mid -400\\ 500 - 25x &= 0 &&\mid +25x \\ 500 &= 25x &&\mid :25\\ 20 &= x \\ \\ \mathbb{L} &= \left\{20\right\}\end{align*}\]
Antwort:
Eine Scheibe Käse wiegt 20 Gramm.
Anwendungsaufgaben [TIMER:3600]
Aufgabe S1:
Von einem 900 g schweren Käse werden 25 Scheiben abgeschnitten. Ein Block mit 400 g bleibt übrig. Berechne die Masse jeder Scheibe.
Aufgabe S2:
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von 20 cm. Die Grundseite ist 3,4 cm lang. Berechne die Länge der Schenkel und konstruiere das Dreieck anschließend in deinem Heft.
Gib den Kongruenzsatz der Konstruktion an und benenne das Dreieck nach Seiten und Winkeln.
Aufgabe S3:
Bei einer Fotobestellung zahlt Maren für 42 Fotos 5,77 €. Zusätzlich wird eine Bearbeitungsgebühr von 1,99 € fällig.
Berechne die Kosten der Bestellung.
Aufgabe S4:
Ein Rechteck hat einen Umfang von 24 cm. Eine Seite des Rechtecks ist doppelt so lang wie die andere Seite. Berechne die Länge der Seiten und konstruiere oder zeichne das Rechteck anschließend in deinem Heft.
Aufgabe S5:
Mutter und Tochter sind zusammen 52 Jahre alt. Die Mutter ist dreimal so alt wie die Tochter. Berechne das Alter der Mutter und der Tochter.
Aufgabe S6:
Ein Blatt Papier ist 5 cm länger als breit. Der Umfang beträgt 48 cm. Berechne Länge und Breite.
Aufgabe S7:
Ein Rechteck ist viermal so lang wie breit. Der Flächeninhalt beträgt 64 cm². Berechne die Länge der Seiten. Gib zunächst alle Lösungsmöglichkeiten an und begründe, weshalb eine Lösung nicht in Frage kommt.
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb;37;1 - 8;Ah;12;1-4;]
Gleichungen in der Geometrie [TIMER:3600]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb;38;1 - 5;Lb**;38;6 - 7;Ah;13-14;1-7]