Gleichungen mit x auf einer Seite lösen
Einstieg
Erkläre, wie die Masse der Schachtel bestimmt wird.
Beschreibe die Umformungsschritte, die vorgenommen wurden.
Löse die Gleichung \(x+3=5\), indem du diese mathematisch umformst.
Zeichne jeweils eine Waage für alle Umformungsschritte.
Erarbeitung
Aufgabe 1:
a) Löse die Gleichungen durch Umformen.
| \[\begin{align*}x+5&=7\\x+4&=9\\x+7&=11\end{align*}\] | \[\begin{align*}19+x&=21\\22&=x+14\\25&=x+11\end{align*}\] |
b) Formuliere eine geeignete Regel zur Umformung von Gleichungen mit Zahlensummanden auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.
Aufgabe 2:
a) Löse die Gleichungen durch Umformen. Verwende jeweils die Umkehroperation.
| \[\begin{align*}5\cdot x&=30\\4\cdot x&=36\end{align*}\] | \[\begin{align*}96&=x\cdot 8\\x\cdot 7&=77\end{align*}\] |
| \[\begin{align*}x:2&=12\\x:4&=9\end{align*}\] | \[\begin{align*}x:5&=7\\x:9&=2\end{align*}\] |
b) Formuliere eine geeignete Regel zur Umformung von Gleichungen mit Faktoren vor der Variablen.
[TIMER:600]
Aufgabe 3: Übertrage die Merkkästen in dein Heft.
Addition und Subtraktion
Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Term addieren oder subtrahieren, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern.
| \[\begin{align*}x - 3 &= 7 &&|+3\\x - 3 + 3 &= 7 + 3 \\x &= 10 \\ \\\mathbb{L} &= \left\{10\right\}\end{align*}\] | \[\begin{align*}8 + x &= 12 &&|-8\\8 +x -8 &= 12 - 8 \\x &= 4 \\ \\\mathbb{L} &= \left\{4\right\}\end{align*}\] |
Multiplikation und Division (\(\not= 0\))
Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl (\(\not= 0\)) multiplizieren oder dividieren, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern.
| \[\begin{align*}\frac{1}{3}x &= 4 &&|\cdot3\\\frac{1}{3}x\cdot 3 &= 4 \cdot 3 \\x &= 12 \\ \\\mathbb{L} &= \left\{12\right\}\end{align*}\] | \[\begin{align*}8x &= 72 &&|:8\\(8x):8 &= 72:8 \\x &= 9 \\ \\\mathbb{L} &= \left\{9\right\}\end{align*}\] |
Aufgaben / Übung [TIMER:3600]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb;32;3 + 5 (mit Zeichnen);Lb;32;6+7;Ah;8;3;]
Aufgabe 4: Erkläre schriftlich, warum eine Multiplikation oder Division mit 0 keine Äquivalenzumformung ist.
Mögliche Begriffe:
| Äquivalenzumformung | Lösungsmenge | Veränderung der Lösungsmenge |
| Informationsverlust | Gleichung | Division durch 0 nicht definiert |
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, bei der sich die Lösungsmenge nicht verändert.
Multipliziert man eine Gleichung mit 0, entsteht 0=00 = 00=0. Dadurch geht die ursprüngliche Information verloren (Informationsverlust) und es kommt zu einer Veränderung der Lösungsmenge. Deshalb ist es keine Äquivalenzumformung.
Eine Division durch 0 ist nicht definiert. Sie ist mathematisch nicht erlaubt und daher keine Äquivalenzumformung.
Aufgabe 5: Löse die Gleichungen durch Umformen.
| a) \(4 \cdot x + 5 = 13\) | b) \(3 \cdot x + 8 = 23\) |
| c) \(9 \cdot x + 2 = 65\) | d) \(11 \cdot x + 9 = 86\) |
| e) \(12 \cdot x + 13 = 49\) | f) \(10 \cdot x + 18 = 68\) |
| g) \(14 \cdot x + 11 = 81\) | h) \(20 \cdot x + 15 = 95\) |
| i) \(15 \cdot x + 23 = 98\) | j) \(7 \cdot x + 23 = 44\) |
Lösung:
| \(\mathbb{L} = \left\{2\right\}\) [1x] | \(\mathbb{L} = \left\{3\right\}\) [2x] | \(\mathbb{L} = \left\{4\right\}\) [1x] |
| \(\mathbb{L} = \left\{5\right\}\) [4x] | \(\mathbb{L} = \left\{7\right\}\) [2x] |
Aufgabe 6: Hier treten Minuszeichen auf. Löse auch diese Gleichungen.
| a) \(7 \cdot x - 5 = 16\) | b) \(9 \cdot x - 4 = 32\) |
| c) \(5 \cdot x - 6 = 39\) | d) \(11 \cdot x - 26 = 51\) |
| e) \(12 \cdot x - 20 = 52\) | f) \(15 \cdot x - 22 = 53\) |
Lösung:
| \(\mathbb{L} = \left\{3\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{6\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{7\right\}\) |
| \(\mathbb{L} = \left\{5\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{6\right\}\) | \(\mathbb{L} = \left\{9\right\}\) |
Aufgabe 7: Forme die Gleichungen um und bestimme die Lösungsmenge.
| a) \(6x + 16 = 40\) | g) \(13 = 14x-15\) |
| b) \(9x - 11 = 70\) | h) \(36 = 11x + 25\) |
| c) \(8x + 18 = 50\) | i) \(32 = 12x - 16\) |
| d) \(5x - 15 = 30\) | j) \(13x - 17 = 48\) |
| e) \(7x + 24 = 80\) | k) \(18x + 32 = 68\) |
| f) \(6x-25 = 77\) | l) \(16x+26 = 90\) |
Definition: Lineare Gleichung
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, bei der die höchste Potenz der Variable die 1 ist.
Aufgaben / Übung [TIMER:3600]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb**;33;8, 11 - 12;Ah;8;4;]
Aufgabe 8:
a) Vergleiche die Lösungswege miteinander und beschreibe jeweils das Vorgehen und die Unterschiede.
| \(\begin{align*}\frac{1}{5}x &= 4&&|\cdot5\\ \\5\cdot\frac{1}{5}x &= 5\cdot 4 \\ \\x &= 20 \\ \\\mathbb{L} &= \left\{20\right\}\end{align*}\) | \(\begin{align*}\frac{1}{5}x &= 4&&|:\frac{1}{5}\\ \\ \frac{5}{1}\cdot\frac{1}{5}x &= \frac{5}{1}\cdot 4\\ \\x &= 20 \\ \\\mathbb{L} &= \left\{20\right\}\end{align*}\) |
b) Löse die Gleichungen.
| \(\frac{1}{2}x = 2\) | \(\frac{1}{3}x = 7\) |
| \(\frac{1}{4}x = 5\) | \(\frac{1}{10}x = 6\) |
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Ah;9;5;]
Aufgabe 9: Bestimme jeweils die Lösung.
| a) \(4x + 7x = 33\) | b) \(2x + 5x + 4 = 32\) |
| c) \(9x -6x = 27\) | d) \(8x - 3x - 2 = 43\) |
Aufgabe 10:
a) Übertrage die Waagen und die zugehörigen Gleichungen in dein Heft.
b) Beschreibe die durchgeführe Termumformung
c) Bestimme anschließend die Lösungsmenge.
Aufgabe 11:
a) Erkläre die Umformung und bestimme die Lösung.
b*) Löse die Gleichung anschließend ohne die Klammern aufzulösen (und somit auf einem anderen Weg).
| \(\begin{align*}&5\cdot(x+4) &= 30 \\& 5x + 20 &= 30\end{align*}\) | \(\begin{align*}&3\cdot(x-7) = 15 \\& 3x - 21 = 15\end{align*}\) |
c) Löse die Gleichungen.
| \(2\cdot(x + 5) = 18\) | \(7\cdot(x-7) = 14\) |
| \(3\cdot(x+6)= 30\) | \(8\cdot(x-5) = 32\) |
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Ah;9;6-7;]