Umkreis von Dreiecken
Einstieg
Auf Is-Land sollen neue Handymasten errichtet werden. Die Orte A, B und C auf der Insel sollen optimal von diesen Masten aus versorgt werden. Um sicherzustellen, dass der Empfang an allen drei Orten gleich gut ist, muss der Sendeturm von jedem dieser Orte gleich weit entfernt sein.
a) Verschiebe den Punkt \(M\) an eine Stelle, an der du den Sendeturm vermutest
b) Ändere den Radius \(r\) des Kreises, so dass alle Orte \(A\), \(B\) und \(C\) von diesem erreicht werden.
Aufgabe E1:
a) Zeichne zwei beliebige Punkte A und B in dein Heft: Wähle einen Abstand zwischen den beiden Punkten von 6 bis 10 cm.
b) Bestimme den Mittelpunkt M: Verwende ein Lineal oder ein Geodreieck, um den Punkt M zu finden, der genau in der Mitte zwischen A und B liegt und somit zu beiden Punkten den gleichen Abstand hat.
c) Finde mindestens zwei weitere Punkte: Suche und markiere mindestens zwei weitere Punkte, die sowohl von A als auch von B den gleichen Abstand haben. Nutze hierzu dein Geodreieck, um die Abstände zu überprüfen.
d) Benenne die geometrische Gemeinsamkeit aller gefundenen Punkte: Überlege, welche geometrische Figur die Punkte bilden, die von A und B den gleichen Abstand haben. Beschreibe diese Figur in deinem Heft.
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte ist eine wichtige geometrische Linie, die in Bezug auf eine Strecke definiert wird. Sie hat zwei Hauptmerkmale:
- Orthogonalität: Die Mittelsenkrechte steht senkrecht (im rechten Winkel) auf der Strecke, auf der sie basiert.
- Äquidistanz: Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechte hat den gleichen Abstand zu den beiden Endpunkten der Strecke, auf der sie errichtet wird.
Anleitung zur Konstruktion einer Mittelsenkrechten ohne Messen:
Um eine Mittelsenkrechte einer Strecke AB ohne Messen zu konstruieren, kannst du folgende Schritte mit Zirkel und Lineal durchführen:
-
Zirkel einstellen: Stelle den Zirkel auf eine Weite ein, die größer als die Hälfte der Länge der Strecke AB ist.
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Kreisbögen zeichnen: Setze die Zirkelspitze auf den Punkt A und zeichne einen Kreisbogen, der die Strecke AB schneidet. Wiederhole diesen Schritt mit der Zirkelspitze auf dem Punkt B. Stelle sicher, dass beide Kreisbögen sich auf beiden Seiten der Strecke AB schneiden.
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Schnittpunkte markieren: Markiere die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Diese Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten von AB.
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Mittelsenkrechte zeichnen: Verbinde die Schnittpunkte mit einem Lineal. Diese Linie ist die Mittelsenkrechte von AB und steht senkrecht auf der Strecke AB.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Zeichne die folgenden Strecken und konstruiere jeweils die Mittelsenkrechte mit gerade Kante und Zirkel.
| a) \( \overline{AB} = 5\, \text{cm} \) | b) \( \overline{CD} = 14\, \text{cm} \) | c) \( \overline{EF} = 3\, \text{cm} \) |
| d) \( \overline{GH} = 10\, \text{cm} \) | e) \( \overline{IJ} = 7\, \text{cm} \) | f) \( \overline{KL} = 11\, \text{cm} \) |
| g) \( \overline{MN} = 2\, \text{cm} \) | h) \( \overline{OP} = 8,2\, \text{cm} \) | i) \( \overline{QR} = 13,1\, \text{cm} \) |
| j) \( \overline{ST} = 4,5\, \text{cm} \) | k) \( \overline{UV} = 9,4\, \text{cm} \) | l) \( \overline{WX} = 6,3\, \text{cm} \) |
Aufgabe 2: Auf Is-Land soll ein neuer Handymast errichtet werden. Die Orte A, B und C auf der Insel sollen optimal von diesem Mast aus mit Funksignal versorgt werden.
a) Erkläre, wie man den optimalen Standort bestimmen kann.
b) Konstruiere den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und zeichne mit dem Zirkel den Umkreis ein.
| \( b = 4\, \text{cm} \) | \( c = 8\, \text{cm} \) | \(\alpha = 60^\circ\) |
Umkreis eines Dreiecks
Der Umkreis eines Dreiecks verläuft durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks. Sein Zentrum ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Der Mittelpunkt ist von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt.
Zur Konstruktion des Umkreises zeichnet man die Mittelsenkrechten von mindestens zwei Seiten des Dreiecks und ermittelt den gemeinsamen Schnittpunkt.
Ergänzung
Dieser Kreis hat die besondere Eigenschaft, dass er für jedes Dreieck eindeutig ist:
Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt das Zentrum innerhalb des Dreiecks.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck befindet sich das Zentrum auf dem Mittelpunkt der Dreiecksseite gegenüber des rechten Winkels.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt das Zentrum außerhalb des Dreiecks.
Umkreis des Dreiecks - Applet
Aufgaben / Übung
Aufgabe 2: Konstruiere die jewieligen Dreiecke und den zugehörigen Umkreis.
a) Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen 10.5 cm, 7.2 cm und 9.1 cm. Konstruiere anschließend den Umkreis dieses Dreiecks.
b) Konstruiere ein Dreieck mit der Seite 12.0 cm, dem anliegenden Winkel von 60° und einer weiteren Seite von 8.5 cm. Konstruiere anschließend den Umkreis dieses Dreiecks.
c) Konstruiere ein Dreieck mit einem Winkel von 45°, einer anschließenden Seite von 11.3 cm und einem weiteren Winkel von 30°. Konstruiere anschließend den Umkreis dieses Dreiecks.
d) Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen 8.8 cm, 6.6 cm und 5.4 cm. Konstruiere anschließend den Umkreis dieses Dreiecks.
e) Konstruiere ein Dreieck mit der Seite 9.5 cm, dem anliegenden Winkel von 75° und einer weiteren Seite von 10.2 cm. Konstruiere anschließend den Umkreis dieses Dreiecks.
f) Konstruiere ein Dreieck mit einem Winkel von 50°, einer anschließenden Seite von 14.0 cm und einem weiteren Winkel von 45°. Konstruiere anschließend den Umkreis dieses Dreiecks.
g) Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen 13.5 cm, 11.0 cm und 7.5 cm. Konstruiere anschließend den Umkreis dieses Dreiecks.
h) Konstruiere ein Dreieck mit der Seite 15.0 cm, dem anliegenden Winkel von 85° und einer weiteren Seite von 12.3 cm. Konstruiere anschließend den Umkreis dieses Dreiecks.