Lagebeziehung von Geraden
Einstieg
Einstieg: Lagebeziehungen von Geraden
Auf der Karte von Mecklenburg-Vorpommern sind zwei Geraden eingezeichnet. Jede Gerade wird durch zwei Punkte festgelegt, die ihr mit der Maus verschieben könnt.
Untersucht, wie sich die beiden Geraden zueinander verhalten können.
Aufgaben:
- Bewegt die Punkte so, dass sich die beiden Geraden in genau einem Punkt schneiden.
- Beschreibt, was ihr beobachtet.
- Zeichnet die Situation in euer Heft.
- Bewegt die Punkte so, dass sich die beiden Geraden nicht schneiden.
- Wie verlaufen die Geraden zueinander?
- Wie nennt man diese Lagebeziehung?
- Versucht nun, die beiden Geraden genau übereinander zu legen.
- Was passiert mit den Geraden?
- Wie viele gemeinsame Punkte haben sie?
Fasst eure Beobachtungen zusammen:
Zwei Geraden können
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- ________________________________
Erarbeitung [TIMER:1200]
Aufgabe: Lagebeziehungen von Geraden untersuchen
- Zeichnet die folgenden Funktionspaare jeweils in ein eigenes Koordinatensystem:
- Paar 1: \(f(x)=2x+3\) und \(g(x)=2x-4\)
- Paar 2: \(f(x)=-x+5\) und \(g(x)=x+5\)
- Paar 3: \(f(x)=4x+4\) und \(g(x)=4x+4\)
- Beschreibt die Lage der Geraden zueinander. Verwendet die Begriffe parallel, identisch oder schneidend.
- Untersucht die Funktionsgleichungen und formuliert Regeln dafür, wann zwei Geraden
- keinen Schnittpunkt besitzen,
- genau einen Schnittpunkt besitzen,
- unendlich viele Schnittpunkte besitzen.
- Notiert eure Regeln in vollständigen Sätzen in euer Heft.
Lagebeziehungen zweier Geraden
Wähle ein Preset und untersuche, ob die Geraden parallel, identisch oder schneidend sind.
Definition: Schnittpunkt
Zwei Geraden haben einen Schnittpunkt, wenn ihre Steigungen unterschiedlich sind. Sie kreuzen sich an genau einem Punkt.
| Beispiel: | \(f(x)=2x+1\) |
| \(g(x)=−x+4\) |
Siehe: [Gleichungen lösen]
Definition: Parallel
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Sie schneiden sich nie.
| Beispiel: | \(f(x)=2x+1\) |
| \(g(x)=2x−3\) |
Siehe: [Kontradiktion]
Definition: Identität
Zwei Geraden sind identisch, wenn sie die gleiche Steigung und denselben y-Achsenabschnitt haben.
| Beispiel: | \(f(x)=3x+4\) |
| \(g(x)=3x+4\) |
Siehe: [Tautologie]
Aufgaben / Übung [TIMER:3600]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb;62;1 - 3;]
Aufgabe 1: Entscheide jeweils, welche Lagebeziehung erkennbar ist. Gib zusätzlich auch die Anzahl der Schnittpunkte an.
| a) | \(f(x)=4x+7\) | \(g(x)=7x+4\) |
| b) | \(f(x)=−6x+2\) | \(g(x)=−6x+2\) |
| c) | \(f(x)=3x+5\) | \(g(x)=3x−10\) |
| d) | \(f(x)=2x+1\) | \(g(x)=−3x+1\) |
| e) | \(f(x)=\frac{1}{2}x\) | \(g(x)=0,5x+1\) |
| f) | \(f(x)=2x−4\) | \(g(x)=x+6\) |
| g) | \(f(x)=−4x+2\) | \(g(x)=4x−2\) |
| h) | \(f(x)=3x+5\) | \(g(x)=3x−5\) |
| i) | \(f(x)=7x+3\) | \(g(x)=6x+8\) |
| j) | \(f(x)=9\) | \(g(x)=−4\) |
Aufgabe 2 ( ): Bringe parallele lineare Funktionen zusammen.
Schreibe \(f(x) \parallel G(x)\)
| \(a(x) = 5x + 5 \quad \circ\) | \(\circ \quad A(x) = -2x + 8\) |
| \(b(x) = -5x + 9 \quad \circ\) | \(\circ \quad B(x) = 0x - 15\) |
| \(c(x) = -6x - 2 \quad \circ\) | \(\circ \quad C(x) = 2x + 14\) |
| \(d(x) = -1x + 4 \quad \circ\) | \(\circ \quad D(x) = -1x - 2\) |
| \(e(x) = -2x - 9 \quad \circ\) | \(\circ \quad E(x) = -4x + 12\) |
| \(f(x) = -3x + 2 \quad \circ\) | \(\circ \quad F(x) = -6x + 1\) |
| \(g(x) = 2x - 3 \quad \circ\) | \(\circ \quad G(x) = -3x - 4\) |
| \(h(x) = 1 \quad \circ\) | \(\circ \quad H(x) = 5x - 6\) |
| \(j(x) = -4x - 13 \quad \circ\) | \(\circ \quad J(x) = 4x - 8\) |
| \(k(x) = 3x - 7 \quad \circ\) | \(\circ \quad K(x) = -5x - 10\) |
| \(l(x) = 4x + 7 \quad \circ\) | \(\circ \quad L(x) = 1x + 3\) |
| \(m(x) = 1x - 5 \quad \circ\) | \(\circ \quad M(x) = 6x - 11\) |
| \(n(x) = 6x + 10 \quad \circ\) | \(\circ \quad N(x) = 3x + 6\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:1800]
Aufgabe 3: Berechne die Lösung und stelle die Lösungsmenge auf.
| Gleichung lösen (Stelle ermitteln) | Probe (Funktionswert ermitteln) |
|---|---|
| \(\begin{align*}3x + 2 &= 4x - 1&& | + 1\\ 3x + 3 &= 4x &&| -3x\\ 3 &= x\end{align*}\) | \(\begin{align*}3\cdot\color{red}{(3)}\color{black} + 2 &= 4\cdot\color{red}{(3)}\color{black} - 1\\ 9 + 2 &= 12 - 1 \\ 11 &= 11\end{align*}\) |
gesuchter Punkt: | \(\left(3 \mid 11\right)\) |
| a) \( 2x + 5 = 3x - 1 \) | g) \( 6x - 9 = 5x - 4 \) |
| b) \( 4x - 3 = 4x + 7 \) | h) \( 2x + 8 = x + 12 \) |
| c) \( x + 9 = 2x - 4 \) | i) \( x - 3 = 0x + 6 \) |
| d) \( 3x - 8 = 2x + 5 \) | j) \( 7x + 2 = 8x - 5 \) |
| e) \( -x + 15 = -2x + 20 \) | k) \( 9x + 14 = 9x + 9 \) |
| f) \( 5x + 3 = 5x - 4 \) | l) \( 10x - 4 = 11x - 14 \) |
Lösung:
| \((6|17)\) | kein Schnittpunkt | \((13|22)\) | \((13|31)\) |
| \((5|10)\) | kein Schnittpunkt | \((5|21)\) | \((4|16)\) |
| \((9|6)\) | \((7|51)\) | kein Schnittpunkt | \((10|96)\) |
Aufgabe 4: Bestimme den Schnittpunkt rechnerisch oder zeichnerisch.
| a) | \( f(x) = 2x + 1 \) | \( g(x) = -x + 4 \) |
| b) | \( f(x) = x - 2 \) | \( g(x) = -3x + 6 \) |
| c) | \( f(x) = 3x -2 \) | \( g(x) = -2x + 8 \) |
| d) | \( f(x) = 5x - 3 \), | \( g(x) = -4x + 15 \) |
| e) | \( f(x) = 4x - 2 \) | \( g(x) = -x + 13 \) |
| f) | \( f(x) = -x + 5 \) | \( g(x) = 2x - 1 \) |
| g) | \( f(x) = 2x + 3 \) | \( g(x) = -2x + 9 \) |
Lösung:
| \((1|3)\) | \((2|0)\) | \((2|4)\) | \((2|4)\) |
| \((3|10)\) | \((2|1)\) | \((3|3,5)\) | \((2|7)\) |
| \((2|5)\) | \((2|7)\) | \((2|3)\) | \((3|8)\) |
Textaufgaben / Anwendungsaufgaben [TIMER:2700]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Ah;28 - 29; 1 - 6;]
| a) | Handytarife vergleichen: Tarif A kostet 15 Euro pro Monat plus 0,05 Euro pro SMS. Tarif B kostet 10 Euro pro Monat plus 0,10 Euro pro SMS.
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| b) | Stromtarife analysieren: Unternehmen X berechnet eine Grundgebühr von 25 Euro plus 0,20 Euro pro kWh. Unternehmen Y hat keine Grundgebühr, dafür aber 0,30 Euro pro kWh.
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| c) | Mietwagen vergleichen: Anbieter A verlangt 50 Euro pro Tag plus 0,10 Euro pro Kilometer. Anbieter B verlangt 40 Euro pro Tag plus 0,15 Euro pro Kilometer.
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| d) | Ticketpreise vergleichen: Veranstaltungsort A verkauft Tickets für 35 Euro plus 5 Euro Servicegebühr. Veranstaltungsort B verkauft Tickets für 40 Euro plus 3 Euro Servicegebühr.
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| e) | Pizzalieferdienste vergleichen: Pizzeria A berechnet 12 Euro pro Pizza und 2 Euro Liefergebühr. Pizzeria B berechnet 10 Euro pro Pizza und 4 Euro Liefergebühr.
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| f) | Fitnessstudio-Mitgliedschaften: Fitnessstudio C verlangt 25 Euro pro Monat und 4 Euro pro Trainingsklasse. Studio D verlangt 30 Euro pro Monat und 3 Euro pro Klasse.
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| g) | Kaffeekonsum im Büro: Anbieter A verkauft Kaffeekapseln für 0,40 Euro pro Stück und berechnet 5 Euro Liefergebühr. Anbieter B verkauft Kaffeekapseln für 0,50 Euro pro Stück ohne Liefergebühr.
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| h) | Werbekosten: Firma A verlangt 200 Euro pro Monat plus 15 Euro pro Anzeige. Firma B verlangt 180 Euro pro Monat plus 20 Euro pro Anzeige.
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Anwendungsaufgaben
a) Stelle den Sachverhalt mithilfe geeigneter linearer Funktionen in einem Koordinatensystem dar.
b) Markiere und beschrifte alle für den Sachverhalt wichtigen Punkte im Graphen.
c) Beschreibe die Bedeutung dieser Punkte im Zusammenhang der Aufgabe.
d) Beurteile anschließend die Entwicklung der dargestellten Größen und beantworte die Fragestellungen des Sachverhalts.
Hinweis: Fertige vor deinen Berechnungen eine sinnvolle Abschätzung an.
Beispiel: Lagerbestände eines Geschäfts
Ein Geschäft verkauft täglich Produkte aus zwei Regalen.
Im Regal A befinden sich zunächst 750 Artikel. Täglich werden 30 verkauft.
Regal B enthält 600 Artikel. Hier werden täglich 20 verkauft.
Die Lagerleitung möchte die Entwicklung der Bestände dokumentieren und rechtzeitig Nachbestellungen planen.
Aufgabe T1: Kerzen im Notfall
Während eines Stromausfalls werden zwei Kerzen angezündet.
Kerze A ist zu Beginn 36 cm hoch und verliert pro Stunde 3 cm an Höhe.
Kerze B ist anfangs 24 cm hoch und verliert pro Stunde 2 cm an Höhe.
Marie beobachtet die Kerzen und fragt sich, ob die beiden Kerzen irgendwann gleich hoch sind. Außerdem möchte sie wissen, welche Kerze länger brennt.
Aufgabe T2: Getränkefässer auf dem Dorffest
Zu Beginn eines Dorffestes befinden sich in Fass A 180 Liter Apfelsaft. Pro Stunde werden 12 Liter ausgeschenkt.
Fass B enthält anfangs 120 Liter. Hier werden stündlich 8 Liter verkauft.
Der Veranstalter möchte abschätzen, wie sich die Vorräte entwickeln. Besonders interessiert ihn, ob die Fässer irgendwann denselben Inhalt besitzen und wann Nachschub benötigt wird.
Aufgabe T3: Akkus zweier E-Bikes
Zwei E-Bikes starten gleichzeitig zu einer Tour.
Der Akku von Bike A enthält zu Beginn 90 % Ladung. Pro Stunde sinkt der Ladezustand um 10 Prozentpunkte.
Bike B startet mit 70 % und verliert stündlich 5 Prozentpunkte.
Die Fahrer möchten wissen, ob die Akkus irgendwann denselben Ladezustand besitzen und welches Fahrrad zuerst nicht mehr fahrbereit ist.
Aufgabe T4: Wasserbecken im Freibad
In zwei Wasserbecken wird aufgrund eines Defekts kein Wasser mehr nachgefüllt.
Becken A enthält zu Beginn 500 Liter Wasser. Durch ein Leck gehen jede Stunde 25 Liter verloren.
Becken B enthält anfangs 350 Liter und verliert stündlich 15 Liter.
Der Hausmeister soll beurteilen, wie lange die Becken noch genutzt werden können.
Aufgabe T5: Benzinvorräte auf einer Reise
Zwei Autos starten gleichzeitig zu einer längeren Fahrt.
Auto A hat zu Beginn 60 Liter Kraftstoff im Tank und verbraucht durchschnittlich 4 Liter pro Stunde.
Auto B startet mit 45 Litern und verbraucht 2,5 Liter pro Stunde.
Die Fahrer diskutieren darüber, ob sie irgendwann gleich viel Kraftstoff im Tank haben und wann ein Tankstopp notwendig wird.
Aufgabe T7: Schnee auf zwei Wiesen
Nach einem Wintereinbruch liegen auf zwei Wiesen unterschiedlich hohe Schneeschichten.
Auf Wiese A liegen 60 cm Schnee. Jeden Tag schmelzen 4 cm.
Auf Wiese B liegen 45 cm Schnee. Dort schmelzen täglich 3 cm.
Die Gemeinde möchte die Entwicklung der Schneehöhen untersuchen, um den Einsatz der Räumfahrzeuge besser planen zu können.