Funktionsgleichungen
Einstieg
In einem Meereskundemuseum auf Fehmarn befindet sich ein zylinderförmiges Aquarium.
Das Aquarium hat einen Durchmesser von 2 Metern und wird bis zu einer Höhe von 1 Meter mit Wasser gefüllt.
Das Wasser wird mit einem Schlauch eingefüllt, der 20 Liter Wasser pro Minute liefert.
a) Schätze, wie lange es ungefähr dauert, bis das Aquarium vollständig gefüllt ist.
| b) Untersuche den Zusammenhang zwischen der Zeit des Füllens und der Menge des eingefüllten Wassers. Entscheide, ob hier ein funktionaler Zusammenhang vorliegt, und begründe deine Entscheidung.
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Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel:
\[V_{\textrm{Zylinder}} = \pi \cdot r^2 \cdot h\]
Der Durchmesser des Tanks beträgt \(2 \ m\). Somit gilt für den Radius \[r = 1 \ m\].
Die Höhe des Tanks beträgt ebenfalls einen Meter mit \[h = 1 \ m\].
\[V_{\textrm{Zylinder}} = \pi \cdot (1 \ m)^2 \cdot 1 \ m \approx 3,141 \ m^3 \approx 3140 \ l \ \]
\[\begin{align*}V &= \pi \cdot (10 \ dm)^2 \cdot 10 \ dm\\&=\pi \cdot 1000 \ dm^3\\&= 3141,59 \ dm^3 \approx 3141,6 \ l\\ \\&3141,6 \ l : 20 \ \frac{l}{min} = 157,08 \ min\end{align*}\]
Der Füllvorgang dauert ungefähr 157 Minuten.
Zylinderförmiges Aquarium
Beobachte, wie sich Wasserstand und Wassermenge beim Füllen verändern.
Erarbeitung
Aufgabe E1:
a) Lies die Füllmenge in Litern nach 5 (10, 13, 15, 20) Minuten ab.
b) Finde die Füllmenge nach 24 (55, 60, 100) Minuten heraus.
c) Ermittle die Füllmenge nach 123,25 Minuten
d) Beschreibe, welche Probleme auftreten können, wenn man Werte von einem Graphen ablesen möchte.
e) Stelle eine Funktionsgleichung für den Sachverhalt auf und begründe, welche Vorteile diese gegenüber einem Graphen hat.
Definition: Funktionsgleichung
Eine Funktionsgleichung ordnet dem Funktionswert \(f(x)\) (oder \(y\)) einen Term zu, der die Funktion in Abhängigkeit von ihrer unabhängigen Variablen (in der Regel x) beschreibt.
Definition: Funktionsstelle und Funktionswert
Jeder x-Wert der Funktion heißt Funktionsstelle.
Der Termwert, der für jede Stelle berechnet werden kann, heißt Funktionswert.
Beispiel
Man betrachte die Funktionsgleichung \[f(x)=2x+3\]
| Funktionsstelle \(x\) | Funktionswert \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | \(f(-2) = 2 \cdot (-2) + 3 = -1\) |
| \(0\) | \(f(0) = 2 \cdot 0 + 3 =3\) |
| \(1\) | \(f(1)=2 \cdot 1 + 3 = 5\) |
| \(5\) | \(f(5)= 2\cdot 5 + 3=13\) |
Man setzt den x-Wert in die Funktion ein und berechnet den Funktionswert.
Aufgaben / Übung [TIMER:3600]
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb**;57;1 - 3;Lb;57;Kasten;Ah;20;1]
Aufgabe 1 ( ): Berechne den Funkktionswert an der angegebenen Stelle.
Beispiel:
\[\begin{align*}f(x) &= 12x + 3\\ \\f(4) &= 12 \cdot 4 + 3 \\&=48+ 3\\&=51 \end{align*}\]
| a) \(f(x) = 5x + 3\) | \( f(4) =\square\) |
| b) \( g(x) = 2x + 7\) | \(g(9) = \square\) |
| c) \( h(x) = 8x + 2\) | \(h(6) = \square\) |
| d) \(i(x) = 11x + 9\) | \(i(5) = \square\) |
| e) \(j(x) = 6x + 13\) | \(j(7) = \square\) |
| f) \(k(x) = 9x + 22\) | \(k(2) = \square\) |
| g) \(l(x) = 4x + 15\) | \(l(10) = \square\) |
| h) \(m(x) = 7x + 33\) | \(m(8) = \square\) |
| i) \(n(x) = 3x + 19\) | \(n(11) = \square\) |
| j) \(o(x) = 10x + 27\) | \(o(3) = \square\) |
Aufgabe 2 (): Berechne den Funktionswert für negative Eingabewerte.
Beispiel:
\[\begin{align*} f(x) &= -9x + 31 \\\\ f(-5) &= -9 \cdot (-5) + 31 \\ &= 45 + 31 \\ &= 76 \end{align*}\]
| a) \(f(x) = -4x + 8\) | \(f(-2) = \square\) |
| b) \(g(x) = -7x - 2\) | \(g(-9) = \square\) |
| c) \(h(x) = -11x + 13\) | \(h(-5) = \square\) |
| d) \(i(x) = -6x + 9\) | \(i(-3) = \square\) |
| e) \(j(x) = -2x - 1\) | \(j(-7) = \square\) |
| f) \(k(x) = -9x + 7\) | \(k(-4) = \square\) |
| g) \(l(x) = -3x - 10\) | \(l(-1) = \square\) |
| h) \(m(x) = -5x + 4\) | \(m(-8) = \square\) |
| i) \(n(x) = -8x + 15\) | \(n(-6) = \square\) |
| j) \(o(x) = -10x - 3\) | \(o(-11) = \square\) |
Speeddating
Schreibe jeweils eine (lineare) Funktion der Form \[f(x)=mx+n\] auf die Vorderseite deiner drei Karteikarten. Bereite die Berechnung von 10 Funktionswerten auf der Rückseite der Karte vor.
- Erhalte eine Spielkarte, um deinen ersten Speeddatingpartner und deinen Platz zu finden. Ziehe die Tische so auseinander, dass jeder benötigte Tisch einzeln und parallel zur Tafel steht.
- Schülerinnen und Schüler mit deiner roten Karte setzen sich mit dem Rücken zur Tafel. Schülerinnen und Schüler mit einer schwarzen Karte setzen sich mit dem Gesicht zur Tafel an die andere Seite des Tisches.
- Berechne zu jeder Funktionsgleichung deines Mitschülers je einen der freien Funktionswerte und notiere diesen auf der Karte.
- Besprich mit deinem Partner, wie ihr die Aufgaben gelöst habt und wo etwaige Schwierigkeiten aufgetreten sind.
- Mit dem Signal wechseln die Schülerinnen und Schüler mit der schwarzen Spielkarte an den nächsten Tisch.
Formuliere in ganzen Sätzen, wie du vorgegangen bist. Berücksichtige bei deiner Formulierung die folgenden Aspekte:
- Arbeit mit immer neuen Partnern
- Schwierigkeiten mit Funktionsgleichungen und Funktionsstellen
- Schwierigkeiten durch begrenzte Zeit
Material
- Karteikarten oder Papier zum Aufschreiben der linearen Funktionen
- Stifte zum Schreiben der Funktionen
- Optional: Taschenrechner zum Überprüfen der Berechnungen
- Optional: Whiteboard oder Flipchart zum Präsentieren der Ergebnisse
- Spielkarten
Aufgaben / Übung [TIMER:2400]
Augabe 1: Berechne die Funktionswerte mit deinem Taschenrechner ( ). Beachte, dass du negative Zahlen einklammern musst.
| \(f(x) = 2x - 1\) | \(g(x) = x^2 - 3x + 2\) | \(h(x) = 3x^3 - 2x^2 + x + 5\) |
| \(k(x) = 4x + 1\) | \(m(x) = \sqrt{x + 2}\) |
| a) \(f(4)\quad \circ\) | \(\circ \quad -7\) |
| b) \(f(-3)\quad \circ\) | \(\circ \quad -7\) |
| c) \(g(0)\quad \circ\) | \(\circ \quad -1\) |
| d) \(g(1)\quad \circ\) | \(\circ \quad 0\) |
| e) \(h(-1)\quad \circ\) | \(\circ \quad 1\) |
| f) \(h(2)\quad \circ\) | \(\circ \quad 2\) |
| g) \(k(0)\quad \circ\) | \(\circ \quad 2\) |
| h) \(k(-2)\quad \circ\) | \(\circ \quad 4\) |
| i) \(m(2)\quad \circ\) | \(\circ \quad 7\) |
| j) \(m(14)\quad \circ\) | \(\circ \quad 23\) |
Zusatz: Berechne und ordne richtig zu.
| a) \(f(f(2))\quad \circ\) | \(\circ \quad 2\) |
| b) \(g(g(2))\quad \circ\) | \(\circ \quad 3\) |
| c) \(h(h(1))\quad \circ\) | \(\circ \quad 5\) |
| d) \(k(k(1))\quad \circ\) | \(\circ \quad 21\) |
| e) \(m(m(47))\quad \circ\) | \(\circ \quad 940\) |
[TASK{Westermann 8 M-V 2020}:Lb***;57;4-5;Ah;20;2]
Aufgabe 2:
Anwendungsaufgaben / Textaufgaben [TIMER:2400]
| a) Bakery Sales: Ein Bäcker stellt fest, dass die Anzahl der verkauften Brötchen \(f(x)\) in Abhängigkeit von der Uhrzeit \(x\) durch die Funktion \(f(x)=−15x+450\) modelliert werden kann, wobei \(x\) die Stunden nach Ladenöffnung um 6:00 Uhr morgens angibt. Wie viele Brötchen werden um 9:00 Uhr verkauft? | d) Temperaturverlauf: Die Außentemperatur eines Tages wird durch die Funktion \(T(t)=−\frac{4}{9}t^2+\frac{40}{3}t-72\) beschrieben, wobei \(t\) die Zeit in Stunden nach Mitternacht ist. Bestimme den Funktionswert für \(t=12\) (Mittags). | g) Pflanzenwachstum: Die Höhe einer Pflanze in Zentimetern kann durch die Funktion \(H(d)=2d+15\) beschrieben werden, wobei \(d\) die Anzahl der Tage nach dem Einpflanzen ist. Wie hoch ist die Pflanze nach 10 Tagen? |
| b) Schulnoten: Die durchschnittliche Punktzahl eines Schülers in Mathematiktests über das Schuljahr kann durch die Funktion \(S(n)=2n+70\) beschrieben werden, wobei \(n\) die Anzahl der absolvierten Tests ist. Welche durchschnittliche Punktzahl erreicht der Schüler nach dem 5. Test? | e) Lagervolumen: Das Volumen eines Lagers in Kubikmetern wird durch die Funktion \(V(w)=300−10w\) beschrieben, wobei \(w\) die Anzahl der Wochen seit Beginn des Quartals ist. Berechne das verbleibende Volumen nach 5 Wochen. | h) Umsatz eines Online-Shops: Ein Online-Shop verzeichnet einen monatlichen Umsatz, der durch die Funktion \(U(m)=100m+2000\) modelliert wird, wobei \(m\) die Anzahl der Monate seit Jahresbeginn ist. Wie hoch ist der Umsatz im 6. Monat? |
| c) Bevölkerungswachstum: Die Bevölkerung einer Stadt wächst jährlich und wird durch die Funktion \(P(y)=1500y+50000\) beschrieben, wobei \(y\) die Anzahl der Jahre seit einer Volkszählung ist. Wie viele Einwohner hat die Stadt nach 3 Jahren? | f) Energieverbrauch: Der Energieverbrauch eines Gebäudes in Kilowattstunden kann durch die Funktion \(E(d)=25d+400\) modelliert werden, wobei \(d\) die Tage im Monat sind. Berechne den Energieverbrauch am 15. Tag des Monats. | i) Säurekonzentration: Die Konzentration einer Säurelösung in einem Labor wird durch die Funktion \(C(h)=−0.5h+10\) angegeben, wobei \(h\) die Anzahl der Stunden seit der Herstellung der Lösung ist. Welche Konzentration hat die Säure nach 6 Stunden? |