Reziproke - Kehrwert
Einstieg - Strategiegespräch: „Wie besiegen wir den Gegner am schnellsten?“
Flamix und sein Trainer sitzen nach dem Kampf zusammen. Ziel: Den gegnerischen Lebensbalken (ein Ganzes) so schnell wie möglich auf 0 bringen.
Jede Attacke zieht einen Bruchteil des Balkens pro Treffer ab – aber wie oft muss man die Attacke einsetzen, bis genau 1 Ganzes abgezogen ist?
Der Trainer hat vier Attackenkarten (jedes Mal gleicher Schaden pro Treffer):
- Kratzer: \(\frac{1}{10}\) des Balkens pro Treffer
- Glut: \(\frac{1}{5}\) des Balkens pro Treffer
- Biss: \(\frac{1}{4}\) des Balkens pro Treffer
- Feuerzahn: \(\frac{2}{5}\) des Balkens pro Treffer
Aufgabe 1:
| a) Beschreibe in eigenen Worten, was „den ganzen Balken abziehen“ bedeutet und warum wir mit gleichen Bruchteilen rechnen. |
| b) Berechne oder bestimme für jede der vier Attacken, wie viele Treffer nötig sind, um genau 1 Ganzes abzuziehen. |
Challenge
| c) Begründe, was sich ändert, wenn eine Attacke kein Stammbruch ist, z. B. \(\frac{2}{5}\) pro Treffer. |
Erarbeitung [TIMER:720]
Aufgabe 2 ( ): Betrachte die folgenden Brüche, bei denen der erste Faktor vorgegeben ist. Überlege, welchen Bruch du als zweiten Faktor verwenden könntest, um sicherzustellen, dass das Produkt 1 ergibt.
| a) \(\frac{1}{2} \cdot \square = 1 \) | b) \(\frac{2}{3} \cdot \square = 1 \) |
| c) \(\frac{4}{5} \cdot \square = 1 \) | d) \(\frac{3}{7} \cdot \square = 1 \) |
| e) \(\frac{5}{8} \cdot \square = 1 \) | f) \(\frac{7}{6} \cdot \square = 1 \) |
Aufgabe 3 ( ):Findet für jede Aufgabe den zweiten Faktor, damit das Produkt der beiden Brüche gleich 1 wird. Tauscht euch aus und überprüft eure Lösungen gegenseitig.
| a) \(\frac{2}{3} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | b) \(\frac{4}{5} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
| c) \(\frac{1}{2} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | d) \(\frac{3}{7} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
| e) \(\frac{5}{8} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | f) \(\frac{7}{6} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
| g) \(\frac{4}{9} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | h) \(\frac{2}{10} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
| i) \(\frac{6}{11} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | j) \(\frac{8}{4} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
| k) \(\frac{3}{2} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | l) \(\frac{7}{10} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
| m) \(\frac{1}{8} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | n) \(\frac{5}{12} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
| o) \(\frac{9}{15} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | p) \(\frac{11}{20} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
| q) \(\frac{4}{16} \cdot \hspace{1cm} = 1\) | r) \(\frac{6}{5} \cdot \hspace{1cm} = 1\) |
Merkkasten und Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 4: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Definition: Kehrwert einer Zahl (Reziproke)
Der Kehrwert einer Zahl ist der Wert, der mit der Zahl multipliziert 1 ergibt. Dazu tauscht man Zähler und Nenner.
Beispiel
| Der Kehrwert von 2 ist \(\frac{1}{2}\). | Der Kehrwert von \(\frac{1}{2}\) ist 2. |
| Der Kehrwert von 5 ist \(\frac{1}{5}\). | Der Kehrwert von \(\frac{1}{5}\) ist 5. |
| Der Kehrwert von \(\frac{2}{5}\) ist \(\frac{5}{2}\). | Der Kehrwert von \(\frac{5}{2}\) ist \(\frac{2}{5}\). |
Aufgabe 5: Füllt die Tabelle aus, indem ihr die Kehrwerte zu den gegebenen Zahlen und Brüchen berechnet. Denkt daran, dass der Kehrwert einer Zahl \(x\) als \(\frac{1}{x}\) geschrieben wird.
| Aufgabe | Gegebene Zahl/Bruch | Kehrwert |
|---|---|---|
| a) | \(2\) | |
| b) | \(\frac{3}{4}\) | |
| c) | \(5\) | |
| d) | \(\frac{1}{2}\) | |
| e) | \(\frac{7}{8}\) | |
| f) | \(4\) | |
| g) | \(\frac{1}{3}\) | |
| h) | \(\frac{6}{7}\) | |
| i) | \(9\) | |
| j) | \(\frac{2}{5}\) | |
| k) | \(8\) | |
| l) | \(\frac{1}{6}\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:840]
Aufgabe 6 ( ): Ergänze so, dass die Rechnung stimmt.
a) \(\frac{4}{2} \cdot \frac{\square}{10} = 1\) b) \(\frac{\square}{3} \cdot \frac{9}{6} = 1\) c) \(\frac{12}{\square} \cdot \frac{18}{108} = 1\) d) \(\frac{5}{6} \cdot \frac{\square}{25} = 1\) e) \(\frac{\square}{4} \cdot \frac{3}{6} = 1\) f) \(\frac{9}{3} \cdot \frac{\square}{27} = 1\) g) \(\frac{8}{\square} \cdot \frac{16}{32} = 1\) | h) \(\frac{15}{3} \cdot \frac{\square}{20} = 1\) i) \(\frac{\square}{10} \cdot \frac{5}{25} = 1\) j) \(\frac{2}{14} \cdot \frac{\square}{4} = 1\) k) \(\frac{49}{7} \cdot \frac{\square}{28} = 1\) l) \(\frac{25}{5} \cdot \frac{\square}{125} = 1\) m) \(\frac{14}{22} \cdot \frac{11}{\square} = 1\) n) \(\frac{2}{\square} \cdot \frac{22}{4} = 1\) |
Aufgabe 7 ( ): Ergänze zu Kehrwerten.
a) \(\frac{6}{3} \cdot \frac{\square}{12} = 1\) b) \(\frac{\square}{4} \cdot \frac{8}{2} = 1\) c) \(\frac{14}{\square} \cdot \frac{28}{196} = 1\) d) \(\frac{5}{7} \cdot \frac{\square}{35} = 1\) e) \(\frac{\square}{5} \cdot \frac{3}{12} = 1\) f) \(\frac{8}{2} \cdot \frac{\square}{16} = 1\) g) \(\frac{15}{\square} \cdot \frac{270}{30} = 1\) | h) \(\frac{16}{4} \cdot \frac{\square}{32} = 1\) i) \(\frac{\square}{9} \cdot \frac{15}{45} = 1\) j) \(\frac{3}{9} \cdot \frac{\square}{12} = 1\) k) \(\frac{121}{11} \cdot \frac{\square}{22} = 1\) l) \(\frac{30}{6} \cdot \frac{\square}{60} = 1\) m) \(\frac{18}{24} \cdot \frac{12}{\square} = 1\) n) \(\frac{6}{\square} \cdot \frac{24}{4} = 1\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 8: Übertrage in dein Heft und entscheide jeweils richtig oder falsch. Zeige dies rechnerisch.
| Aufgabe | Richtig | Falsch | Rechnung | |
|---|---|---|---|---|
| a) | Der Kehrwert von 4 ist \(\frac{1}{4}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| b) | Der Kehrwert von 7 ist \(\frac{5}{9}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| c) | Der Kehrwert von 2 ist \(\frac{7}{14}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| d) | Der Kehrwert von 6 ist \(\frac{4}{24}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| e) | Der Kehrwert von 9 ist \(\frac{3}{3}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| f) | Der Kehrwert von 5 ist \(\frac{10}{50}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| g) | Der Kehrwert von 3 ist \(\frac{2}{5}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| h) | Der Kehrwert von 8 ist \(\frac{3}{32}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| i) | Der Kehrwert von 1 ist 1. | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| j) | Der Kehrwert von 10 ist \(\frac{100}{1000}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| k) | Der Kehrwert von 12 ist \(\frac{12}{144}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) | |
| l) | Der Kehrwert von 11 ist \(\frac{44}{484}\). | \(\large\square\) | \(\large\square\) |