Teiler und Teilermengen
Einstieg
Kartrennen in Bowsers Schloss
Im großen Kartrennen im Lavaschloss der bösen Schildkröte Bowser herrscht Aufregung.
Mario möchte bestens vorbereitet sein und geht in den Itemladen, um sich Vorräte zu sichern.
Er kauft eine Großpackung mit 40 roten Pilzen, die er beim Rennen einsetzen oder mit anderen Fahrern teilen könnte.
Nun überlegt er, auf wie viele Fahrer er die Pilze gerecht aufteilen kann.
a) Bestimme, auf wie viele Fahrer Mario die Pilze fair verteilen kann.
b) Bestimme jeweils auch, wie viele Pilze dann jeder Fahrer erhält.
| Anzahl Fahrer | Anzahl Pilze |
|---|---|
| \(1\) | \(40\) |
| \(2\) | \(\ldots\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) |
| Anzahl Fahrer | Anzahl Pilze |
|---|---|
| \(1\) | \(40\) |
| \(2\) | \(20\) |
| \(4\) | \(10\) |
| \(5\) | \(8\) |
| \(8\) | \(5\) |
| \(10\) | \(4\) |
| \(20\) | \(2\) |
| \(40\) | \(1\) |
Merkkasten [TIMER:480]
Aufgabe 1: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Definition: Teiler
Wenn die natürliche Zahl \(n\) ohne Rest durch \(t\) teilbar ist, dann ist \(t\) ein Teiler von \(n\)
Jede Zahl wird immer von der 1 und der Zahl selbst geteilt. Diese Teiler heißen Trivialteiler.
Man schreibt \(3\mid12\) und spricht „3 teilt 12“.
Beispiel
| Zahl \(n\) | Teiler \(t\) |
|---|---|
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(1, 2\) |
| \(12\) | \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:1200]
Aufgabe 2:
a) Finde alle Teiler der Zahlen 10 und 8. Notiere diese als Teilermenge.
\[T_{8} = \left\{1, \quad \quad \quad \quad \quad \right\}\]
\[T_{10} = \left\{1, \quad \quad \quad \quad \quad \right\}\]
b) Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Aufgabe 3: Jedes Vielfache von drei, zum Beispiel zwölf, kannst du ohne Rest durch drei teilen.
Man sagt : Drei ist ein Teiler von zwölf.
a) Gib alle Teiler von zwölf an.
b) Bestimme die Teilermengen \(T_{15}\) ( \(T_{24}\) , \(T_{40}\), \(T_{50}\)).
Aufgabe 4: Bestimme jeweils die Teilermengen von
| a) | \(6\) | \(9\) | \(14\) |
| b) | \(16\) | \(18\) | \(25\) |
| c) | \(27\) | \(33\) | \(35\) |
| d) | \(50\) | \(56\) | \(63\) |
Definition: Teilermenge
Die Teilermenge einer natürlichen Zahl ist die Menge aller Zahlen, die diese Zahl ohne Rest teilen. Mit anderen Worten, die Teilermenge enthält alle positiven Teiler einer gegebenen Zahl.
Beispiel
\[T_{12}=\left\{1, 2, 3, 4, 6, 12\right\}\]
Die Teilermenge von 12 besteht aus den Elementen 1, 2, 3, 4, 6, 12, da diese Zahlen 12 ohne Rest teilen.
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 5:
a) Marie hat alle neun Teiler von \(36\) gefunden. Gib diese in deinem Heft an.
b) \(30\) hat acht Teiler. Schreibe sie auf.
c) Notiere alle neun Teiler von \(100\).
Ergänzung: Quadratzahlen
Eine natürliche Zahl \(n\) ist genau dann eine Quadratzahl, wenn sie eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt.
Aufgabe 6: In Lenas Tabelle stehen jeweils die beiden Teiler von 54 nebeneinander, die multipliziert 54 ergeben
a) Ergänze die Tabelle.
| Teiler | Teiler | Probe |
|---|---|---|
| \(1\) | \(54\) | \(1 \cdot 54 = 54\) |
| \(2\) | \(\) | \(2 \cdot \square = 54\) |
| \(3\) | \(\) | |
| \(6\) | \(\) |
b) Erstelle eine solche Tabelle für die Teiler von 48 und begründe, warum nur 5 Zeilen benötigt werden.
c) Bestimme ebenso alle Teiler von 60 (64, 72 , 96, 121) mithilfe einer Tabelle.
Aufgabe 7: Gesucht ist die Summe aller zweistelligen natürlichen Zahlen, die durch alle ihre Ziffern teilbar sind.
\[\Sigma = n_1 + n_2 + n_3 + \ldots + n_k\]
mit der Eigenschaft
\[n_i = 10 \cdot a + b \Rightarrow a \mid n_i \text{ und } b \mid n_i\]
Zur Bearbeitung steht das folgende Zahlenraster zur Verfügung:
a) Ausschluss offensichtlich ungeeigneter Zahlen
Streiche im Zahlenraster alle einstelligen Zahlen. Begründe kurz, warum diese Zahlen die Bedingung nicht erfüllen können.
b) Prüfung der Teilbarkeit durch die Ziffern
Untersuche die im Raster verbleibenden Zahlen systematisch:
- Prüfe für jede Zahl, ob sie durch ihre Zehnerziffer teilbar ist.
- Prüfe anschließend, ob sie durch ihre Einerziffer teilbar ist.
Streiche alle Zahlen, bei denen mindestens eine der beiden Ziffern kein Teiler der Zahl ist.
c) Begründung einzelner Beispiele
Untersuche die folgenden acht zweistelligen Zahlen:
| \(12\) | \(15\) | \(24\) | \(26\) |
| \(30\) | \(34\) | \(36\) | \(48\) |
- Markiere jeweils die Ziffer(n) rot, die kein Teiler der Zahl sind.
- Formuliere zu jeder Zahl eine kurze Begründung, ob die Zahl die Bedingung erfüllt oder nicht erfüllt.
d) Bestimmung der gesuchten Summe
Notiere alle zweistelligen Zahlen aus dem Raster, die nicht gestrichen wurden und somit die Bedingung erfüllen.
Berechne anschließend die Summe dieser Zahlen.
| Beispiel: \(75\) ist durch \(5\) teilbar, aber nicht durch \(7\) |
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| \(11\) | \(12\) | \(13\) | \(14\) | \(15\) | \(16\) | \(17\) | \(18\) | \(19\) | \(20\) |
| \(21\) | \(22\) | \(23\) | \(24\) | \(25\) | \(26\) | \(27\) | \(28\) | \(29\) | \(30\) |
| \(31\) | \(32\) | \(33\) | \(34\) | \(35\) | \(36\) | \(37\) | \(38\) | \(39\) | \(40\) |
| \(41\) | \(42\) | \(43\) | \(44\) | \(45\) | \(46\) | \(47\) | \(48\) | \(49\) | \(50\) |
| \(51\) | \(52\) | \(53\) | \(54\) | \(55\) | \(56\) | \(57\) | \(58\) | \(59\) | \(60\) |
| \(61\) | \(62\) | \(63\) | \(64\) | \(65\) | \(66\) | \(67\) | \(68\) | \(69\) | \(70\) |
| \(71\) | \(72\) | \(73\) | \(74\) | \(\color{red}7\color{green}5\) | \(76\) | \(77\) | \(78\) | \(79\) | \(80\) |
| \(81\) | \(82\) | \(83\) | \(84\) | \(85\) | \(86\) | \(87\) | \(88\) | \(89\) | \(90\) |
| \(91\) | \(92\) | \(93\) | \(94\) | \(95\) | \(96\) | \(97\) | \(98\) | \(99\) | \(100\) |
