Additions- und Subtraktionsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Einstieg
a) Timo hat zwei Zahlen. Wenn er zum Vierfachen der ersten Zahl 15 addiert und vom Dreifachen der zweiten Zahl 10 subtrahiert, erhält er insgesamt 30. Wenn er zum Zweifachen der zweiten Zahl 6 addiert und vom (-1)-fachen der ersten Zahl 3 subtrahiert, ergibt sich 5. Welche Werte haben die beiden Zahlen?
b) Sarah besitzt zwei Zahlen. Wenn sie zum Doppelten der ersten Zahl 8 addiert und vom 1,5-fachen der zweiten Zahl 5 subtrahiert, erhält sie insgesamt 19. Wenn sie zur zweiten Zahl 7 addiert und von der ersten Zahl 2 subtrahiert, ergibt sich 24. Wie lauten die beiden Zahlen?
Am Ende dieses Lernpfades solltest du erklären können, wie man ein lineares Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren oder Subtraktionsverfahren löst.
Dazu brauchst du zwei wichtige Fähigkeiten:
- Gleichungen vervielfachen
Du solltest eine ganze Gleichung mit einer Zahl multiplizieren können, damit bei beiden Gleichungen passende Koeffizienten entstehen. - Gleichungen addieren oder subtrahieren
Du solltest zwei Gleichungen so addieren oder subtrahieren können, dass eine Variable wegfällt.
Das Additionsverfahren/ Subtraktionsverfahren
Definition: Additions- und Subtraktionsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Das Additionsverfahren und das Subtraktionsverfahren sind algebraische Methoden zum Lösen eines linearen Gleichungssystems. Ziel ist es, eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen zu entfernen.
Schritt 1: Gleichungen erkennen
Schreibe beide Gleichungen auf und bringe sie in eine gemeinsame Form.
Schritt 2: Koeffizienten passend machen
Vervielfache eine oder beide Gleichungen so, dass vor einer Variablen gleiche oder entgegengesetzte Koeffizienten stehen.
Schritt 3: Addieren oder subtrahieren
Addiere oder subtrahiere die Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt.
Schritt 4: Erste Variable berechnen
Löse die entstandene Gleichung mit nur einer Variablen.
Schritt 5: Zweite Variable berechnen
Setze den berechneten Wert in eine der Ausgangsgleichungen ein.
Schritt 6: Lösung angeben und prüfen
Gib die Lösung als Zahlenpaar an und überprüfe sie durch Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen.
Hinweis: Achte auf den Koeffizienten der Variable, die wegfallen soll.
- Haben beide Koeffizienten denselben Wert mit demselben Vorzeichen, dann werden die Gleichungen subtrahiert.
- Haben beide Koeffizienten denselben Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen, dann werden die Gleichungen addiert.
Beispiel: Bei \(3x\) und \(3x\) wird subtrahiert. Bei \(3x\) und \(-3x\) wird addiert.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Wende das Additionsverfahren oder Subtraktionsverfahren an, um das LGS zu lösen.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 3y = 10\\II)& 2x - y = 2 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 6y = 8\\II)& -2x - 3y = 4 \end{array}\right|\) |
| b) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 4y = 8\\II)& -3x + 4y = 3 \end{array}\right|\) | g) \(\left|\begin{array}{lc}I)& -2x + 2y = -14\\II)& 2x - y = 8 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 4x + 3y = 15\\II)& 4x + y = 7 \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 8x + 3y = 24\\II)& -8x - 4y = 16 \end{array}\right|\) |
| d) \(\left|\begin{array}{lc}I)& x + 4y = 11\\II)& x + 2y = 5 \end{array}\right|\) | i) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3x + 2y = 27\\II)& -3x - y = 18 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6x + 5y = 21\\II)& 6x + y = 9 \end{array}\right|\) | j) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 4y = 40\\II)& -2x + 2y = 26 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((2|2)\) | \((1|1,5)\) | \((0,75|4)\) | \((-1|3)\) | \((1|3)\) |
| \((-8|4)\) | \((1|-6)\) | \((18|-40)\) | \((-21|45)\) | \((-2|11)\) |
Aufgabe 2: Manipuliere zunächst eine oder beide Gleichungen und wende dann das Additionsverfahren an.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3x + 4y = 5\\II)& x - 2y = 5 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 5x + 6y = 26\\II)& 2x - 3y = 5 \end{array}\right|\) |
| b) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 5x + 2y = 12\\II)& 3x - 2y = 8 \end{array}\right|\) | g) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 7x + 4y = 26\\II)& 4x - 2y = 2 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + y = 3\\II)& 4x - 3y = 11 \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)& -3x + 2y = 2\\II)& 6x - 3y = 3 \end{array}\right|\) |
| d) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6x + 3y = -3\\II)& -2x - 4y = 10 \end{array}\right|\) | i) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6x + 5y = 21\\II)& 4x - 5y = 9 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 4x + 5y = 4\\II)& 3x - 10y = 3 \end{array}\right|\) | j) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 4y = 14\\II)& 7x - 2y = 17 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((3|-1)\) | \((2,5|-0,25)\) | \((2|-1)\) | \((1|-3)\) | \((1|0)\) |
| \((4|1)\) | \((2|3)\) | \((4|7)\) | \((3|0,6)\) | \((3|2)\) |
Aufgabe 3 ( ): Forme zunächst um, um dann das linneare Gleichungssystem zu lösen.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x = 10 - 3y\\II)& -y = -2x + 4 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2(x + 3y) = 2(8 - y)\\II)& 2x = 5 + 3y \end{array}\right|\) |
| b) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 4y + 2x - 12 = 0\\II)& 3 - 4y = 3x \end{array}\right|\) | g) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2y = 7(2 - x)\\II)& 7x - y = 2 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3(3 - y) = 2x\\II)& 6x - y = 4 \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 4x = 6 - 2y\\II)& 8x + 2y = 3 \end{array}\right|\) |
| d) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3x = 11 - 4y\\II)& -2y = 5 - 3x \end{array}\right|\) | i) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2y - 3x = 5\\II)& x - y = 6 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6x = -5y + 20\\II)& y = 6 \cdot (2 - x) \end{array}\right|\) | j) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2x + 3y = 5\\II)& 4x + 6y = 11 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) |
| \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) | \((|)\) |
Aufgabe 4: Verwende zwei verschiedene Lösungsalgorithmen und vergleiche den Rechenaufwand.
a) Zwei Zahlen: Tim hat zwei Zahlen. Wenn er zur ersten Zahl 3 addiert und von der zweiten Zahl 5 subtrahiert, erhält er insgesamt 10. Wenn er zur zweiten Zahl 4 addiert und von der ersten Zahl 2 subtrahiert, ergibt sich 12. Was sind die beiden Zahlen?
b) Die Altersfrage: Vater und Sohn haben zusammen 36 Jahre. Der Vater ist doppelt so alt wie der Sohn. Wie alt ist jeder von ihnen?
c) Der Obststand: Ein Obststand verkauft Äpfel und Bananen. Für 6 Äpfel und 4 Bananen zahlt man 8 Euro, während 3 Äpfel und 5 Bananen 5 Euro kosten. Wie viel kostet jeder Apfel und jede Banane einzeln?
Aufgabe 5: Bringe die Gleichungen in die Form \(ax + by = c\) und löse dann mit dem Additionsverfahren.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 3x - 7 = 2y + 4\\II)& -5 + y = x - 3 \end{array}\right|\) | b) \(\left|\begin{array}{lc}I)& x + 3 = 4y - 1\\II)& 12y + 5 = 5x + 1 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 6 - y = -x + 3\\II)& 4x - 4 = y +5 \end{array}\right|\) | d) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2(x + 3) = y -3\\II)& y - 5 = -4x - 8 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& y + 1 = 4x + 6\\II)& 3x - 7 = 2y -2 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 7x + 2 = -5y + 5\\II)& y + 6 = x - 3 \end{array}\right|\) |
| g) \(\left|\begin{array}{lc}I)& 2y + 4 = 6 - 5x\\II)& x + 3 = 0.2(y - 1) \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)& y - 8 = -3(-3x + 2)\\II)& 4x - 1 = y + 2 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((15|17)\) | \((8|3)\) | \((4|7)\) | \((-2|5)\) |
| \((-3|-7)\) | \((4|-5)\) | \((-2|6)\) | \((-1|-7)\) |