Einsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Einstieg
Aufgabe 1: Setze in mindestens 5 Gleichungen die Werte \(x = 4\), \(y = 7\) und \(z = 2\) ein und überprüfe, ob dies eine Lösung darstellt.
a) \(3x - 8 = 16\) b) \(-2x + 5 = 7\) c) \(4x^2 + 12 = 40\) d) \(2x + 3 = 5x - 1\) e) \(7x - 9 = 2x + 4\) | f) \(2x + 3y = 10\) g) \(-x + 4y = -2\) h) \(5x - 2y = 12\) i) \(3x + 2y = 18\) j) \(4x + 7y = 3x - 5\) | k) \(2x + 3y - z = 5\) l) \(4x - 2y + 5z = 12\) m) \(x + y + z = 10\) n) \(2x + 4y - 3z = 8\) o) \(-x + 2y + 6z = 4\) |
| a) \(X\) | f) \(X\) | k) |
| b) \(X\) | g) \(X\) | l) |
| c) \(X\) | h) | m) |
| d) \(X\) | i) | n) |
| e) \(X\) | j) | o) |
Aufgabe 2: Multipliziere die Klammern aus.
a) \(2(x + 3)\)
b) \(-3(2x - 5)\)
c) \(4(3x + 2y)\)
d) \(-2(4x + 7y)\)
e) \(5(2x + 4y - 3z)\)
f) \(-1(x - 2y + 6z)\)
g) \(3(2a + b - 4c)\)
h) \(-2(3a - 2b + 5c)\)
i) \(6(2x^2 + 3x + 1)\)
j) \(-4(4x^2 - 2x + 6)\)
Aufgabe 3: Ersetze die Variable durch den angegebenen Term und fasse möglichst weit zusammen.
Achte darauf, dass du Klammern beim Einsetzen verwendest!
| Term | Ersetze ... |
|---|---|
| a) \(3x - 5\) | (Ersetze \(x\) durch \(4y + 2z\)) |
| b) \(-2y + 5x - 7\) | (Ersetze \(x\) durch \(3y - 2z\)) |
| c) \(2z - 4x + 6y\) | (Ersetze \(z\) durch \(x + 2y\)) |
| d)\(4xy + 2x^2 - 3y\) | (Ersetze \(y\) durch \(2x - z\)) |
| e) \(5a^2 - 2ab + b^2\) | (Ersetze \(a\) durch \(3x - y\) und \(b\) durch \(2x\)) |
| f) \(-4u + 7v - 3w\) | (Ersetze \(u\) durch \(2v + 3w\)) |
| g) \(2m - 3mn + n^2\) | (Ersetze \(m\) durch \(3n + n^2\)) |
| h) \(7a - 2b - 4c\) | (Ersetze \(b\) durch \(2a -c \)) |
| i) \(3p - 5q + 2r\) | (Ersetze \(p\) durch \(2q - y\)) |
| j) \(6x^3 - 4xy^2 + 2y^3\) | (Ersetze \(x\) durch \(3y\)) |
Am Ende dieses Lernpfades solltest du erklären können, wie man ein lineares Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren löst.
Dazu brauchst du zwei wichtige Fähigkeiten:
- Gleichungen umformen
Du solltest Gleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen so umformen können, dass eine Variable allein steht. - Klammern auflösen
Du solltest eine Malklammer auflösen können, damit du nach dem Einsetzen die entstandene Gleichung vereinfachen kannst.
Das Einsetzungsverfahren
Erklärung: Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren ist eine algebraische Methode zum Lösen eines linearen Gleichungssystems. Dabei wird eine Gleichung nach einer Variablen umgestellt. Der entstandene Term wird anschließend in die andere Gleichung eingesetzt.
Schritt 1: Gleichungen erkennen
Schreibe beide Gleichungen auf und bringe sie in eine gemeinsame Form.
Schritt 2: Eine Variable isolieren
Stelle eine Gleichung nach einer Variablen um.
Schritt 3: Einsetzen
Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
Schritt 4: Erste Variable berechnen
Löse die entstandene Gleichung mit nur einer Variablen.
Schritt 5: Zweite Variable berechnen
Setze den berechneten Wert in die umgestellte Gleichung ein.
Schritt 6: Lösung angeben und prüfen
Gib die Lösung als Zahlenpaar an und überprüfe sie durch Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen.
Gegebenes Problem: Eine Jugendherberge verfügt über Vierbettzimmer und Sechsbettzimmer. Insgesamt gibt es 42 Zimmer und 216 Betten. Wie viele Vierbett- und Sechsbettzimmer gibt es?
Schritt 1: Die Gleichungen aufstellen: Um das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, formulieren wir zwei Gleichungen basierend auf den gegebenen Informationen.
Sei "x" die Anzahl der Vierbettzimmer und "y" die Anzahl der Sechsbettzimmer.
Die Anzahl der Zimmer: \(x + y = 42\)
Die Anzahl der Betten: \(4x + 6y = 216\)
Das lineare Gleichungssystem lautet demnach:
\[\begin{align}I)&&x &+ y &&= 42\\II)&&4x &+ 6y &&= 216\end{align}\]
Schritt 2: Eine der Gleichungen nach einer Variablen umstellen:
Wir stellen die erste Gleichung nach "x" um:
\[\begin{align*}I')&&x + y &= 42&|-y\\&&x &= 42 - y\end{align*}\]
Das neue umgeformte Gleichungssystem lautet demnach wie folgt:
\[\begin{align}I')&&x &= 42 - y\\II)&&4x + 6y &= 216\end{align}\]
Schritt 3: Die umgestellte Gleichung einsetzen:
Da der Wert für x und y in beiden Gleichungen identisch sein soll, dürfen wir Variablen durch eine Information der anderen Gleichung ersetzen:
\(I' \textrm{ in } II \textrm{ einsetzen}:\)
\[\begin{align*}III)&& 4\color{red}{(42-y)}\color{black} + 6y &= 216&\end{align*}\]
Schritt 4: Die Gleichung lösen:
Jetzt lösen wir die Gleichung nach "y" auf:
\(I' \textrm{ in } II \textrm{ einsetzen}:\)
\[\begin{align*}III)&& 4\color{red}{(42-y)}\color{black} + 6y &= 216&\\&&168 - 4y+6y &= 216&|-168\\&&2y &= 48&|:2\\&& y &= \underline{\underline{24}}&\end{align*}\]
Schritt 5: Den Wert von "y" in die erste oder zweite Gleichung einsetzen, um "x" zu berechnen:
Wir setzen den Wert von "y" zurück in die erste Gleichung:
\(y \textrm{ in } I') \textrm{ einsetzen:}\)
\[x = 42 - 24 = \underline{\underline{18}}\]
Schritt 6: Die Lösungsmenge aufstellen:
\[\mathbb{L} = \left\{(18 | 24)\right\}\]
Schritt 7: Die Antwort interpretieren:
Es gibt 18 Vierbettzimmer und 24 Sechsbettzimmer in der Jugendherberge.
Gegebenes Problem: Eine Jugendherberge verfügt über Vierbettzimmer und Sechsbettzimmer. Insgesamt gibt es 42 Zimmer und 216 Betten. Wie viele Vierbett- und Sechsbettzimmer gibt es?
Sei "x" die Anzahl der Vierbettzimmer und "y" die Anzahl der Sechsbettzimmer.
\[\begin{align}I)&&x &+ y &&= 42\\II)&&4x &+ 6y &&= 216\end{align}\]
\[\begin{align*}I')&&x + y &= 42&|-y\\&&x &= 42 - y\\ \\II)&&4x + 6y &= 216&\end{align*}\]
\(I' \textrm{ in } II \textrm{ einsetzen}:\)
\[\begin{align*}III)&& 4\color{red}{(42-y)}\color{black} + 6y &= 216&\\&&168 - 4y+6y &= 216&|-168\\&&2y &= 48&|:2\\&& y &= \underline{\underline{24}}&\end{align*}\]
\(y \textrm{ in } I') \textrm{ einsetzen:}\)
\[x = 42 - 24 = \underline{\underline{18}}\]
\[\mathbb{L} = \left\{(18 | 24)\right\}\]
Es gibt 18 Vierbettzimmer und 24 Sechsbettzimmer in der Jugendherberge.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 4: Verwende das Einsetzungsverfahren, um die Gleichungssysteme zu lösen.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x + 2y = 6\\II)& -2x - 3y = 0 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)&0,5x + y = 23\\II)& -x + 2y = 26 \end{array}\right|\) |
| b) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x + y = 1\\II)& 3x - y = 24 \end{array}\right|\) | g) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x + 2y = 20\\II)& 3x +y = 10 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)&3x + y = 7\\II)& 2x - 4y = 28 \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x -4y = 1\\II)& -2x +6y = -2 \end{array}\right|\) |
| d) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x - 3y = 100\\II)& x + 2y = -20 \end{array}\right|\) | i) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x + y = 4\\II)& x - y = -18 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& x - 3y = 30\\II)& -2x - 5y = 17 \end{array}\right|\) | j) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x - 2y = 14\\II)& 0,5x + y = -5 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((-18|12)\) | \((5|-9)\) | \((4|-5)\) | \((20|-20)\) | \((9|-7)\) |
| \((10|18)\) | \((0|10)\) | \((1|0)\) | \((-7|11)\) | \((2|-6)\) |
Aufgabe 5: Löse mithilfe des Einsetzungsverfahrens.
| a) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x - y = 1\\II)& 2y - 3x = 2 \end{array}\right|\) | f) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x - 4y = -1\\II)& x + 3y = 13 \end{array}\right|\) |
| b) \(\left|\begin{array}{lc}I)&4x + y = 16\\II)& 2x - y = -4 \end{array}\right|\) | g) \(\left|\begin{array}{lc}I)&4x + y = 14\\II)& 20x -y = -2 \end{array}\right|\) |
| c) \(\left|\begin{array}{lc}I)&3x - y = -2\\II)& 2x - 6y = 4 \end{array}\right|\) | h) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x -2y = -3\\II)& 2x +6y = 24\end{array}\right|\) |
| d) \(\left|\begin{array}{lc}I)&2x - 3y = 0\\II)& x + 2y = 21 \end{array}\right|\) | i) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x - 3y = 7\\II)& 2x - 5y = 5 \end{array}\right|\) |
| e) \(\left|\begin{array}{lc}I)& y - x = 1\\II)& x + y = 13 \end{array}\right|\) | j) \(\left|\begin{array}{lc}I)&x - y = -4\\II)& 2x + y = 19 \end{array}\right|\) |
Lösung:
| \((4|7)\) | \((2|8)\) | \((-1|-1)\) | \((9|6)\) | \((6|7)\) |
| \((7|2)\) | \((0,5|12)\) | \((3|3)\) | \((-20|-9)\) | \((5|9)\) |
Aufgabe 6 (Die Mischungsaufgabe):In einem Chemielabor wird eine Lösung benötigt, die aus zwei verschiedenen Salzlösungen gemischt wird. Die erste Lösung ist eine 25%ige Salzlösung, und die zweite ist eine 10%ige Salzlösung. Insgesamt werden 85 Gramm Salz in der fertigen Lösung benötigt, die aus 550 ml Flüssigkeit gebildet wird. Berechne den Anteil jeder der beiden Lösungen in der Mischung.
Aufgabe 7 (Die Reisenachfrage): Ein Busunternehmen bietet Fahrten für Schüler und Erwachsene an. Der Fahrpreis für Schüler beträgt 10 € und für Erwachsene 20 €. An einem Tag wurden 80 Tickets verkauft, und der Gesamterlös betrug 1500 €. Wie viele Schüler und wie viele Erwachsene haben Tickets gekauft?
Aufgabe 8 (Das Tankproblem): Ein Auto verbraucht auf der Autobahn 8 Liter Benzin pro 100 km und in der Stadt 12 Liter pro 100 km. Auf einer 400 km langen Reise, die sowohl Autobahn- als auch Stadtstrecken umfasst, wurden insgesamt 42 Liter Benzin verbraucht. Wie viele Kilometer wurden auf der Autobahn und wie viele in der Stadt gefahren?
Aufgabe 9 (Die Obstsalatmischung): Ein Obstsalat soll aus Äpfeln und Birnen bestehen. Es werden 5 Äpfel und 3 Birnen benötigt, um eine bestimmte Menge des Salats herzustellen. Wenn insgesamt 32 Früchte verwendet werden, wie viele Äpfel und Birnen sind in der Mischung enthalten?
Aufgabe 10 (Die Rabattfrage): Ein Geschäft bietet 20% Rabatt auf alle Artikel. Ein Kunde kauft zwei Artikel, bei denen der erste 50 € und der zweite 80 € kostet. Wie viel beträgt der Gesamtrabatt und wie viel muss der Kunde bezahlen?
Aufgabe 11 (Die Klassennoten): In einer Schule gibt es nur zwei Arten von Noten, A und B. In einer bestimmten Klasse haben 60% der Schüler eine A und der Rest eine B. Wenn es insgesamt 25 Schüler in der Klasse gibt, wie viele haben jeweils eine A und eine B?
Aufgabe 12 (Die Münzsammlung): Ein Sammler hat Sammelmünzen zu je 2 € und zu je 5 € in seiner Sammlung. Die Anzahl Münzen beträgt 17 und der Gesamtwert der Münzen beträgt 67 €. Wie viele Münzen jeder Art hat er?
Aufgabe 13 (Das Sportteam): Ein Fußballverein hat sowohl Jugend- als auch Erwachsenenmitglieder. Jugendliche zahlen 12 € Jahresbeitrag und Erwachsene 20 €. Insgesamt sind es 45 Teammitglieder, und der Kassenwart verbucht jährliche Einnahmen durch Mitgliederbeiträge in Höhe von 740 €. Wie viele vollständige Jugend- und Erwachsenenmannschaften kann der Verein für ein Turnier stellen?
Aufgabe 14 (Die Flugreise): Ein Flugzeug fliegt von Stadt A nach Stadt B (Entfernung 2100 km) mit einer Geschwindigkeit von 250 km/h. Zeitgleich startet eine kleinere Maschine in B in Richtung A mit einer Geschwindigkeit von 170 km/h. Berechne den Zeitpunkt und den Ort, an dem die Flugzeuge aneinander vorbei fliegen?
Aufgabe 15 (Die Schatzsuche): Ein Schatzsucher findet eine Kiste mit Goldmünzen und Silbermünzen. Es gibt insgesamt 130 Münzen. Eine Silbermmünze wiegt 2,2 g und eine Goldmünze wiegt 3,1 g. Der Schatz bringt eine Masse von 366,1 g auf die Waage. Berechne die Anzahl der Gold- und Silbermünzen.