Systeme von zwei Gleichungen mit zwei Variablen
Einstieg
Anna und Max gehen ins Kino. Anna kauft zwei Kinotickets und ein Popcorn für insgesamt 32 Euro. Max kauft ein Kinoticket und zwei Popcorns für insgesamt 28 Euro. Die Preise für ein Kinoticket und für Popcorn sind gleich für beide.
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Formuliere zwei lineare Gleichungen, um diese Situation mathematisch darzustellen. Verwende \(x\) für den Preis eines Kinotickets und \(y\) für den Preis eines Popcorns.
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Zeichne die Graphen dieser beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem (x-Achse, y-Achse: \(1 \ cm \overset{\wedge}{=}\) 2 € und finde den Schnittpunkt.
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Was repräsentiert der Schnittpunkt der beiden Graphen in diesem Kontext? Welche Bedeutung hat er?
Die Gleichung für Anna lautet: \(2x+1y = 32\)
Die Gleichung für Max lautet: \(1x+2y=28\)
Dabei entspricht x dem Preis eines Kinotickets und y dem Preis einer Portion Popcorn.
Zuerst werden die Gleichungen in die Form \(y = mx + n\) gebracht und anschließend gezeichnet.
Anna:
\(y = 32 - 2x\) oder \(y = -2x + 32\)
Max:
\(2y = 28 - x\) oder \(y = -0,5x +14 \)
Der Schnittpunkt der beiden Graphen repräsentiert den Punkt, an dem sowohl Anna als auch Max den gleichen Preis zahlen würden, wenn sie ihre Tickets und Popcorns separat kaufen würden. In diesem Fall wäre der Preis für ein Kinoticket 12 Euro, und der Preis für ein Popcorn wäre 8 Euro.
Somit ist die Lösung des Problems, dass ein Kinoticket 12 Euro kostet und ein Popcorn 8 Euro kostet, so dass die beiden die angegebenen Beträge ausgeben können.
Am Ende dieses Lernpfades solltest du erklären können, wie man ein lineares Gleichungssystem grafisch löst.
Dazu brauchst du zwei wichtige Fähigkeiten:
- Gleichungen umformen
Du solltest eine Gleichung so umformen können, dass du sie als Gerade zeichnen kannst, zum Beispiel in die Form \[y = mx + n\] - Lineare Funktionen zeichnen
Du solltest wissen, wie man eine lineare Funktion als Gerade in ein Koordinatensystem einträgt.
Erklärung: Grafisches Lösen von linearen Gleichungssystemen
Das grafische Lösen von linearen Gleichungssystemen ist eine Methode, mit der man die Lösung eines Gleichungssystems anschaulich im Koordinatensystem bestimmen kann. Bei einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen beschreibt jede Gleichung eine Gerade. Die Lösung des Gleichungssystems ist der Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden.
Schritt 1: Gleichungen umformen
Schritt 2: Graphen zeichnen
Zeichne zu jeder Gleichung die passende Gerade in ein Koordinatensystem.
Schritt 3: Schnittpunkt finden
Schritt 4: Schnittpunkt interpretieren
Deute den Schnittpunkt im Sachzusammenhang. Bei einer Aufgabe mit Schafen und Hühnern könnte der Schnittpunkt zum Beispiel angeben, wie viele Schafe und wie viele Hühner es gibt.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Bestimme jeweils den gemeinsamen Schnittpunkt der linearen Funktionen zeichnerisch in einem Koordinatensystem.
a) \(\left| \begin{array}{c} y = 3x - 2\\ y = -x + 6 \end{array} \right|\)
b) \(\left| \begin{array}{c} y = 4x - 4\\ y = 5x -7 \end{array} \right|\)
c) \(\left| \begin{array}{c} y = -x + 3\\ y = 2x -12 \end{array} \right|\)
d) \(\left| \begin{array}{c} y = x - 10\\ y = 0,5x -4,5 \end{array} \right|\)
e) \(\left| \begin{array}{c} y = 0,5x - 3\\ y = x -10 \end{array} \right|\)
f) \(\left| \begin{array}{c} y = 2x +7\\ y = 3x + 0 \end{array} \right|\)
Aufgabe 2: Bestimme jeweils den gemeinsamen Schnittpunkt der linearen Funktionen zeichnerisch in einem Koordinatensystem. Forme zunächst in die Form \(y = mx + n\) um.
a) \(\left| \begin{array}{c} x = 2y - 7\\ x + y = 5 \end{array} \right|\)
b) \(\left| \begin{array}{c} 2x = -y - 1\\ 8 = x - 2y \end{array} \right|\)
c) \(\left| \begin{array}{c} x = y - 2\\ 2y = 3x -5 \end{array} \right|\)
d) \(\left| \begin{array}{c} 2x - y = 2\\ x = 13 - y \end{array} \right|\)
e) \(\left| \begin{array}{c} -x = y - 9\\ 3y + 1 = x \end{array} \right|\)
f) \(\left| \begin{array}{c} -2x = y - 2\\ \frac{1}{3}y = -\frac{1}{2}x \end{array} \right|\)
Aufgabe 3: Bestimme die Lösung des Gleichungssystems zeichnerisch.
a)\(\left|\begin{array}{c}3x - y = -3 \\ y - 2x = 5\end{array}\right|\)
b)\(\left|\begin{array}{c}3x - y = 7 \\-3x + 2y = 4\end{array}\right|\)
c)\(\left|\begin{array}{c}4x + y = 12 \\x - 2y = -6\end{array}\right|\)
d)\(\left|\begin{array}{c}5x - y = -2 \\2x + 4y = 30\end{array}\right|\)
e)\(\left|\begin{array}{c}7x + 2y = 3 \\5x + 3y = 10\end{array}\right|\)
f)\(\left|\begin{array}{c}-4x - 2y = -10 \\2x + y = 5\end{array}\right|\)
Lösung Aufgabe 1 - 3:
| x | y | |
|---|---|---|
| Aufgabe 1 | 2, 3, 5, 7, 11, 14 | -2, 1, 4, 4, 8, 21 |
| Aufgabe 2 | 1, 2, 4, 5, 7, 9 | -6, -3, 2, 4, 8, 11 |
| Aufgabe 3 | -4, -1, 1, 2, 2, 6 | 4, 5, 7, 9, 11, 13 |
Aufgabe 4: Das Weingut
Ein Weingut produziert Rotwein und Weißwein. Für die Produktion von 5 Flaschen Rotwein und 3 Flaschen Weißwein werden insgesamt 18,5 kg Trauben benötigt. Für 2 Flaschen Rotwein und 4 Flaschen Weißwein werden 13 kg Trauben benötigt. Welche Masse Trauben werden für eine Flasche Rotwein und eine Flasche Weißwein benötigt?
Aufgabe 5: Kaffe und Kuchen
Zwei Tassen Kaffee und ein Stück Kuchen kosten 8,00 €, drei Tassen Kaffee und vier Stück Kuchen kosten 20,00 €. Bestimme zeichnerisch den Preis für eine Tasse Kaffee bzw. ein Stück Kuchen.
Aufgabe 6: Bauernhof
Auf einem Bauernhof gibt es Kühe und Hühner. Ein Bauer zählt insgesamt 48 Beine und 22 Köpfe auf dem Bauernhof. Wie viele Kühe und wie viele Hühner gibt es auf dem Bauernhof?
Aufgabe 7: Die Zugfahrt
Ein Personenzug fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h, während ein Güterzug mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h fährt. Der Personenzug startet um 09:00 Uhr, der Güterzug bereits um 06:00 Uhr. Beide fahren in die gleiche Richtung und fahren zeitgleich in einen großen Bahnhof ein.
Formuliere zwei geeignete lineare Gleichungen mit den unbekannten x (Fahrzeit) und y (Fahrstrecke).
Aufgabe 8: Das Kinoabenteuer
Eine Gruppe von Freunden geht ins Kino. Die Kosten für 3 Erwachsenen-Tickets und 2 Kinder-Tickets betragen 30 Euro, während die Kosten für 2 Erwachsene und 3 Kinder 25 Euro betragen. Wie viel kostet ein Erwachsenen-Ticket, und wie viel kostet ein Kinder-Ticket?
Lösung zu Aufgabe 4 bis 8:
| x | y |
|---|---|
| 2; 2,4; 2,5; 8; 9 | 2; 3; 3,2; 20; 720 |