Kongruenzsatz - Seite-Seite-Seite
Einstieg
Anton und Björn haben erneut über ihre Rampe gesprochen. Zusätzlich zur Länge der Bodenplatte hat Anton beide Winkel angegeben, die an der Bodenfläche messbar sind.
| Bodenlänge: | Winkel 1: | Winkel 2: |
|---|---|---|
| \(12 \ dm\) | \(38^\circ\) | \(30^\circ\) |
a) Überprüfe, ob Björn mit diesen Angaben die Rampe korrekt nachbauen kann. Zeichne das Dreieck in der Einheit \(cm\) mit den gleichen Werten (kleinerer Maßstab).
b) Vergleiche mit deinem Nachbarn, indem ihr die Dreiecke übernander legt.
c) Formuliere eine geeignete Erkenntnis.
Definition: Kongruenzsatz Winkel-Seite-Winkel (WSW)
Zwei Dreiecke, die in allen einer Seitenlänge und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent zueinander.
Aufgabe 1: Fertige jeweils eine Planfigur an. Entscheide und begründe, welche Dreiecke kongruent zueinander sind.
\(\begin{align*}\triangle ABC \textrm{ mit } c=3 \ cm; \alpha = 40^\circ; \beta = 50^\circ\\ \\\triangle A'B'C' \textrm{ mit } b=3 \ cm; \alpha = 40^\circ; \gamma = 50^\circ \\ \\\triangle A''B''C'' \textrm{ mit } a=3 \ cm; α = 40^\circ; \gamma = 50^\circ\\ \\\triangle A'''B'''C''' \textrm{ mit } c=3 \ cm; \beta = 40^\circ; \alpha = 50^\circ\end{align*}\)
Dreieckskongruenz prüfen
Ergänzung
Da die Innenwinkelsumme eines Dreiecks stets \(180^\circ\) beträgt, reichen zwei beliebige Winkel aus.
Mithilfe des Satzes über die Innenwinkelsumme kann ein fehlender anliegender Winkel berechnet werden!
Aufgabe 3: Konstruiere die folgenden Dreiecke auf unliniertem Papier. Vergleiche deine Konstruktion mit deinem Nachbarn.
| Bezeichner | Seite 1 | Seite 2 | Winkel |
|---|---|---|---|
| a) \(\Delta ABC\) | \(c = 7 \ cm\) | \(\alpha = 45^\circ\) | \(\beta = 50^\circ\) |
| b) \(\Delta ABC\) | \(b = 6 \ cm\) | \(\gamma = 90^\circ\) | \(\alpha = 45^\circ\) |
| c) \(\Delta ABC\) | \(a = 7 \ cm\) | \(\beta = 53^\circ\) | \(\gamma = 90^\circ\) |
| d) \(\Delta ABC\) | \(c = 9 \ cm\) | \(\beta = 45^\circ\) | \(\alpha = 45^\circ\) |
| e) \(\Delta ABC\) | \(b = 5 \ cm\) | \(\alpha = 70^\circ\) | \(\gamma = 60^\circ\) |
| f) \(\Delta ABC\) | \(c = 10 \ cm\) | \(\beta = 53^\circ\) | \(\alpha = 37^\circ\) |
Aufgabe 4: Beantworte die 5 Fragen für dich im Heft. Die Antworten sind grundsätzlich unter Zuhilfenahme mathematischer Sätze zu begründen!
- Überlege, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen \(a = 6 \ cm\), \(\beta = 30^\circ\), \(\gamma = 50^\circ\) und \(\alpha' = 30^\circ\), \(\gamma = 50^\circ\), \(b = 6 \ cm\) nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent sind. Begründe deine Antwort.
- Beschreibe, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent sind. Notiere die Bedingungen in eigenen Worten.
- Überprüfe, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen \(c = 7 \ cm\), \(\beta = 90^\circ\), \(\gamma = 50^\circ\) und \(\alpha' = 40^\circ\), \(\gamma = 50^\circ\), \(b = 7 \ cm\) nach dem Kongruenzsatz WSW kongruent sind. Begründe deine Antwort.
- Überlege, warum die angegebene Seite zwischen den beiden Winkeln liegen muss, um die Kongruenz vorauszusetzen. Notiere deine Überlegungen.