Kongruenzsatz - Seite-Seite-Seite
Einstieg
Anton und Björn haben erneut über ihre Rampe gesprochen. Zusätzlich zur Länge der Bodenplatte und der Rampenlänge hat Anton den Winkel angegeben, der die Steigung der Rampenfläche angibt.
| Bodenlänge: | Rampenlänge: | Steigungswinkel: |
|---|---|---|
| \(12 \ dm\) | \(8 \ dm\) | \(30^\circ\) |
a) Überprüfe, ob Björn mit diesen Angaben die Rampe korrekt nachbauen kann. Zeichne das Dreieck in der Einheit \(cm\) mit den gleichen Werten (kleinerer Maßstab).
b) Vergleiche mit deinem Nachbarn, indem ihr die Dreiecke übernander legt.
c) Formuliere eine geeignete Erkenntnis.
Definition: Kongruenzsatz Seite-Winkel-Seite (SWS)
Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent zueinander.
Aufgabe 1: Fertige jeweils eine Planfigur an. Entscheide und begründe, welche Dreiecke kongruent zueinander sind.
\(\begin{align*}\triangle ABC \textrm{ mit } c=3 \ cm; b = 4 \ cm; α = 40^\circ\\ \\\triangle A'B'C' \textrm{ mit } a=3 \ cm; b = 4 \ cm; γ = 40^\circ \\ \\\triangle A''B''C'' \textrm{ mit } a=3 \ cm; b = 4 \ cm; β = 40^\circ \\ \\\triangle A'''B'''C''' \textrm{ mit } a=4 \ cm; b = 3 \ cm; γ = 40^\circ\end{align*}\)
Dreieckskongruenz prüfen
Aufgabe 3: Konstruiere die folgenden Dreiecke auf unliniertem Papier. Vergleiche deine Konstruktion mit deinem Nachbarn.
| Bezeichner | Seite 1 | Seite 2 | Winkel |
|---|---|---|---|
| a) \(\Delta ABC\) | \(a = 3 \ cm\) | \(c = 5 \ cm\) | \(\beta = 53^\circ\) |
| b) \(\Delta ABC\) | \(c = 8 \ cm\) | \(b = 5 \ cm\) | \(\alpha = 45^\circ\) |
| c) \(\Delta ABC\) | \(a = 7 \ cm\) | \(b = 6 \ cm\) | \(\gamma = 90^\circ\) |
| d) \(\Delta ABC\) | \(c = 6 \ cm\) | \(b = 5 \ cm\) | \(\alpha = 30^\circ\) |
| e) \(\Delta ABC\) | \(a = 5 \ cm\) | \(b = 5 \ cm\) | \(\gamma = 60^\circ\) |
| f) \(\Delta ABC\) | \(c = 10 \ cm\) | \(b = 8 \ cm\) | \(\alpha = 37^\circ\) |
Aufgabe 4: Beantworte die 4 Fragen für dich im Heft. Die Antworten sind grundsätzlich unter Zuhilfenahme mathematischer Sätze zu begründen!
- Überlege, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen \(a = 7 \ cm\), \(b = 9 \ cm\) und dem Winkel \(\gamma = 60^\circ\) und \(x = 7 \ cm\), \(y = 9 \ cm\) und dem eingeschlossenen Winkel \(\delta = 60^\circ\) nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent sind. Begründe deine Antwort.
- Beschreibe, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit zwei Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent sind. Notiere die Bedingungen in eigenen Worten.
- Überprüfe, ob die Dreiecke mit den Seitenlängen \(a = 5 \ cm\), \(b = 6 \ cm\) und dem eingeschlossenen Winkel \(\gamma = 90^\circ\) und \(b' = 5 \ cm\), \(c' = 6 \ cm\) und dem Winkel \(\gamma' = 60^\circ\) nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent sind. Begründe deine Antwort.
- Überlege, warum die Position des Winkels entscheidend für den verwendeten Kongruenzsatz ist. Notiere deine Überlegungen.