Grundwert und Prozentsatz
Definition: Grundwert
Der Grundwert (G) ist das Ganze, auf das sich ein Vergleich oder eine Prozentangabe bezieht. Er entspricht immer 100 % und bildet die Ausgangsgröße für alle Berechnungen.
Teilwerte oder Prozentwerte werden immer im Verhältnis zu diesem Grundwert angegeben oder berechnet.
Aufgabe 1: Berechne den Grundwert mit dem Dreisatz.
Beispiel
Der Grundwert beträgt 30 €. |
| a) \(18\,\text{€}\) entsprechen \(60\,\%\). |
| b) \(42\,\text{€}\) entsprechen \(70\,\%\). |
| c) \(16\,\text{€}\) entsprechen \(80\,\%\). |
| d) \(27\,\text{€}\) entsprechen \(90\,\%\). |
| e) \(12\,\text{€}\) entsprechen \(40\,\%\). |
| f) \(35\,\text{€}\) entsprechen \(50\,\%\). |
Aufgabe 2: Berechne den ursprünglichen Preis mit dem Dreisatz.
| Beispiel Ein Joghurt kostet mit \(20\,\%\) Rabatt noch \(1{,}20\,\text{€}\). Bei \(20\,\%\) Rabatt zahlst du noch \(80\,\%\). \[ \begin{array}{rcl} 80\,\% & \widehat{=} & 1{,}20\,\text{€} \\ 1\,\% & \widehat{=} & 1{,}20\,\text{€} : 80 = 0{,}015\,\text{€} \\ 100\,\% & \widehat{=} & 0{,}015\,\text{€} \cdot 100 = 1{,}50\,\text{€} \end{array} \] |
| a) Ein Brot kostet mit \(20\,\%\) Rabatt noch \(2{,}40\,\text{€}\). |
| b) Ein Käse kostet mit \(30\,\%\) Rabatt noch \(2{,}80\,\text{€}\). |
| c) Ein Wrap kostet mit \(50\,\%\) Rabatt noch \(1{,}75\,\text{€}\). |
| d) Ein Salat kostet mit \(40\,\%\) Rabatt noch \(1{,}80\,\text{€}\). |
| e) Ein Smoothie kostet mit \(25\,\%\) Rabatt noch \(1{,}50\,\text{€}\). |
| f) Ein Sandwich kostet mit \(50\,\%\) Rabatt noch \(2{,}25\,\text{€}\). |
Aufgabe 3: Berechne den Grundwert mit der Formel.
| Beispiel \(24\,\text{€}\) entsprechen \(80\,\%\). Berechne den Grundwert. \[ \begin{aligned} G &= \frac{W}{p\%} \\ G &= \frac{24\,\text{€}}{80\,\%} \\ G &= \frac{24\,\text{€}}{0{,}80} \\ G &= 30\,\text{€} \end{aligned} \] |
| a) \(15\,\text{€}\) entsprechen \(75\,\%\). |
| b) \(36\,\text{€}\) entsprechen \(90\,\%\). |
| c) \(28\,\text{€}\) entsprechen \(70\,\%\). |
| d) \(45\,\text{€}\) entsprechen \(60\,\%\). |
| e) \(9\,\text{€}\) entsprechen \(30\,\%\). |
| f) \(52\,\text{€}\) entsprechen \(80\,\%\). |
Aufgabe 4: Berechne den ursprünglichen Preis mit der Formel. Bestimme zuerst den Zahl-Anteil.
| Beispiel Ein Joghurt kostet mit \(20\,\%\) Rabatt noch \(1{,}20\,\text{€}\). \[ \begin{aligned} 20\,\% \text{ Rabatt} &\Rightarrow 80\,\% \text{ zahlen} \\ 80\,\% &= 0{,}80 \\ G &= \frac{W}{p\%} \\ G &= \frac{1{,}20\,\text{€}}{0{,}80} \\ G &= 1{,}50\,\text{€} \end{aligned} \] |
| a) Ein Joghurt kostet mit \(20\,\%\) Rabatt noch \(1{,}20\,\text{€}\). |
| b) Ein Käse kostet mit \(30\,\%\) Rabatt noch \(2{,}80\,\text{€}\). |
| c) Ein Wrap kostet mit \(50\,\%\) Rabatt noch \(1{,}75\,\text{€}\). |
| d) Ein Salat kostet mit \(40\,\%\) Rabatt noch \(1{,}80\,\text{€}\). |
| e) Ein Smoothie kostet mit \(25\,\%\) Rabatt noch \(1{,}50\,\text{€}\). |
| f) Ein Obstbecher kostet mit \(30\,\%\) Rabatt noch \(2{,}10\,\text{€}\). |
| g) Ein Brot kostet mit \(20\,\%\) Rabatt noch \(2{,}40\,\text{€}\). |
| h) Ein Sandwich kostet mit \(50\,\%\) Rabatt noch \(2{,}25\,\text{€}\). |
Aufgabe 5: Berechne den Grundwert, wenn der Prozentsatz größer als \(100\,\%\) ist.
| Beispiel Nach einer Preiserhöhung auf \(120\,\%\) kostet ein Produkt \(36\,\text{€}\). Berechne den ursprünglichen Preis. \[ \begin{aligned} G &= \frac{W}{p\%} \\ G &= \frac{36\,\text{€}}{120\,\%} \\ G &= \frac{36\,\text{€}}{1{,}20} \\ G &= 30\,\text{€} \end{aligned} \] |
| a) Nach einer Preiserhöhung auf \(110\,\%\) kostet ein Artikel \(44\,\text{€}\). |
| b) Nach einer Preiserhöhung auf \(120\,\%\) kostet ein Fahrradhelm \(72\,\text{€}\). |
| c) Nach einer Erhöhung auf \(125\,\%\) kostet ein Ticket \(50\,\text{€}\). |
| d) Nach einer Erhöhung auf \(150\,\%\) kostet ein Produkt \(45\,\text{€}\). |
| e) Nach einer Erhöhung auf \(108\,\%\) kostet ein Laptop \(972\,\text{€}\). |
| f) Nach einer Erhöhung auf \(115\,\%\) kostet ein Smartphone \(575\,\text{€}\). |
Erklärung: Textaufgaben
Bei Textaufgaben geht es darum, die wichtigen Angaben (Gegeben) aus dem Text herauszulesen.
Danach überlegt man, was genau berechnet werden soll (Gesucht).
Anschließend wird die passende Rechnung (Rechenweg) mit vollständigem Rechenweg aufgeschrieben.
Zum Schluss formuliert man eine klare Antwort (Antwort) in einem vollständigen Satz.
Weiterführende Aufgaben
Aufgabe T1:
- In einer Klasse sind 24 Schüler. 25 % davon sind Jungen. Berechne die Anzahl der Jungen.
- Ein Buch kostet nach 10 % Rabatt noch 18 €. Berechne den ursprünglichen Preis.
- Von 40 Äpfeln sind 8 faul. Berechne den relativen Anteil.
- Ein T-Shirt kostet 50 €. Dieses ist jetzt 15 % günstiger. Berechne die Ersparnis.
- Ein Theater hat 400 Sitzplätze, davon sind 280 besetzt. Berechne den prozentualen Anteil.
- 30 Schüler machen bei einem Wettbewerb mit. Das sind 60 % des Jahrgangs. Berechne die Größe des Jahrgangs.
- Ein Mantel kostet 180 € und wird um 20 % reduziert. Berechne den neuen Preis.
- In einer Stadt leben 5 000 Menschen. 3 000 davon sind über 50 Jahre alt. Berechne den relativen Anteil.
- Bei einem Fest werden 85 von 100 Stühlen benutzt. Berechne den relativen Anteil.
- Ein Laptop wird um 10 % reduziert und dann noch einmal um 5 %. Berechne die gesamte Ermäßigung.
Lösung:
| 6 | 7,50 | 20 | 20 | 50 |
| 60 | 70 | 85 | 85,5 | 144 |
Aufgabe T2:
- Eine Jacke kostet nach 25 % Rabatt noch 90 €. Berechne den ursprünglicen Preis.
- 18 von 60 Schülern fahren auf Klassenfahrt. Berechne den relativen Anteil.
- Ein Supermarkt gibt auf Obst 20 % Rabatt. Eine Ananas kostet ursprünglich 4 €. Berechne die Ersparnis.
- Auf einem Bauernhof sind 200 Kühe, davon sind 30 % braun. Berechne den absoluten Anteil brauner Kühe.
- 48 von 80 Aufgaben werden richtig gelöst. Berechne den relativen Anteil richtiger Aufgaben.
- Eine Lieferung von 2 500 Flaschen enthält 2 % beschädigte Flaschen. Berechne die Anzahl beschädigter Flaschen.
- Ein Fernseher wird um 15 % teurer und kostet nun 575 €. Berechne den urprünglichen Preis.
- Der Umsatz einer Firma steigt von 120 000 € auf 138 000 €. Berechne den prozentualen Anteil der Preissteigerung.
- Ein Rad wird erst um 20 % reduziert, dann um weitere 10 %. Berechne die gesamte Ermäßigung.
- In einer Schule nehmen 240 Schüler am Schulfest teil, das sind ungefähr 85 % aller Schüler. Berechne die Anzahl der Schüler.
Lösung:
| 3,20 | 15 | 30 | 50 | 60 |
| 60 | 72 | 120 | 282 | 500 |
Aufgabe T3:
- Der Wert einer Aktie steigt erst um 25 %, sinkt dann um 20 %. Berechne den gesamten Teil der prozentualen Veränderung.
- Eine Maschine kostet nach einer 30 %igen Preissteigerung 13 000 €. Berechne den ursprünglichen Preis.
- 120 von 500 Befragten lehnen ein neues Gesetz ab. Berechne den prozentualen Anteil der Befragten.
- Ein Auto wird um 12 % günstiger verkauft. Der ursprüngliche Preis war 24 000 €. Berechne die absolute Preisersparnis.
- Ein Haus wird zunächst um 10 % im Preis gesenkt, später um weitere 5 %. Berechne den prozentualen Wert der Gesamtpreissenkung.
- 50 von 160 Gästen haben vegetarische Gerichte bestellt. Berechne den relativen Anteil.
- Nach einem Rabatt von 20 % kostet ein Sofa noch 960 €. Berechne den ursprünglichen Wert.
- Bei einem Turnier nehmen 320 Spieler teil. 48 % sind unter 18 Jahren. Berechne den absoluten Wert an Jugendlichen.
- Der Benzinverbrauch eines Autos sinkt von 7 l auf 6,3 l. Berechne den kleineren Verbrauch in Prozent.
- Der Preis eines Handys steigt um 8 % und wird danach um 5 % reduziert. Berechne die prozentuale Gesamtveränderung.