Periodische Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

Einstieg

Aufgabe E1:

a) Erkläre, wie Lehrer Schmidt die Periode des periodischen Dezimalbruchs entfernt, um die Zahl in einen Bruch umwandeln zu können.

b) Wandle die Zahl \(0,\overline{37}\) in einen Bruch um.

Erklärung: Periodische Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

Um einen vollperiodischen Dezimalbruch in einen Bruch umzuwandeln, können wir eine einfache Methode verwenden.

Gemischte Schreibweise: Notiere den ganzzahligen Teil (vor dem Komma).
Notiere den Teil nach dem Komma als Bruch:
1. Notiere den Nachkommateil als Zähler des Bruchs.
2. Notiere so viele 9er im Nenner, wie die Periode lang ist.

Beispiel:

\(0,\overline{3}\):

\[0,\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]

\(0,\overline{12}\):

\[0,\overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}\]

\(3,\overline{54}\):

\[3,\overline{54} = 3\frac{54}{99} = 3\frac{6}{11} = \frac{39}{11}\]

Aufgabe 1: Wandle die periodischen Dezimalbrüche in Brüche um.

\[0,\overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}\]

a) \(0,\overline{331} = \frac{\square}{\square} \)

b) \(0,\overline{669} = \frac{\square}{\square} \)

c) \(0,\overline{6} = \frac{\square}{\square} \)

d) \(0,\overline{74} = \frac{\square}{\square} \)

e) \(0,\overline{84} = \frac{\square}{\square} \)

f) \(0,\overline{889} = \frac{\square}{\square} \)

g) \(0,\overline{21} = \frac{\square}{\square} \)

h) \(0,\overline{18} = \frac{\square}{\square} \)

i) \(0,\overline{89} = \frac{\square}{\square} \)

j) \(0,\overline{3} = \frac{\square}{\square} \)

k) \(0,\overline{068} = \frac{\square}{\square} \)

l) \(0,\overline{16} = \frac{\square}{\square} \)

m) \(0,\overline{20} = \frac{\square}{\square} \)

n) \(0,\overline{197} = \frac{\square}{\square} \)

o) \(0,\overline{90} = \frac{\square}{\square} \)

p) \(0,\overline{98} = \frac{\square}{\square} \)

q) \(0,\overline{1} = \frac{\square}{\square} \)

r) \(0,\overline{9} = \frac{\square}{\square} \)

s) \(0,\overline{225} = \frac{\square}{\square} \)

t) \(0,\overline{93} = \frac{\square}{\square} \)

Lösung:

\(\frac{68}{999}\)	\(\frac{1}{9}\)	\(\frac{16}{99}\)	\(\frac{2}{11}\)	\(\frac{197}{999}\)
\(\frac{20}{99}\)	\(\frac{7}{33}\)	\(\frac{25}{111}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{331}{999}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{223}{333}\)	\(\frac{74}{99}\)	\(\frac{28}{33}\)	\(\frac{889}{999}\)
\(\frac{89}{99}\)	\(\frac{10}{11}\)	\(\frac{31}{33}\)	\(\frac{98}{99}\)	\(1\)

Periodische Dezimalbrüche und "merkwürdige Beobachtungen"

Aufgabe

\[\Huge 0,\overline{9} = \square\]

\(0,\overline{9} = 0,99999999999\ldots = \square\)

Die Zahl \(\large 0,\overline{9}\) ist unendlich nah an \(\large 1\), dass es keinen Unterschied gibt. Man kann es mit einer kleinen Rechnung zeigen.

Beweis:

TAFEL

Aufgabe 2: Wandle die periodischen Dezimalbrüche in Brüche um.

\[3,\overline{54} = 3\frac{54}{99} = 3\frac{6}{11} = \frac{39}{11}\]

a) \(4,\overline{2} = \frac{\square}{\square}\)

b) \(6,\overline{8} = \frac{\square}{\square}\)

c) \(11,\overline{9} = \frac{\square}{\square}\)

d) \(3,\overline{2} = \frac{\square}{\square}\)

e) \(6,\overline{09} = \frac{\square}{\square}\)

f) \(9,\overline{1} = \frac{\square}{\square}\)

g) \(8,\overline{5} = \frac{\square}{\square}\)

h) \(7,\overline{2} = \frac{\square}{\square}\)

i) \(1,\overline{5} = \frac{\square}{\square}\)

j) \(2,\overline{5} = \frac{\square}{\square}\)

k) \(7,\overline{3} = \frac{\square}{\square}\)

l) \(5,\overline{6} = \frac{\square}{\square}\)

m) \(8,\overline{3} = \frac{\square}{\square}\)

n) \(9,\overline{6} = \frac{\square}{\square}\)

o) \(1,\overline{62} = \frac{\square}{\square}\)

p) \(1,\overline{4} = \frac{\square}{\square}\)

q) \(8,\overline{2} = \frac{\square}{\square}\)

r) \(5,\overline{4} = \frac{\square}{\square}\)

s) \(9,\overline{4} = \frac{\square}{\square}\)

t) \(4,\overline{60} = \frac{\square}{\square}\)