Maßstab und Verhältnisgleichungen
Definition: Maßstab
Der Maßstab ist das Verhältnis zwischen einer Länge auf einer Abbildung und der entsprechenden Länge in der Realität.
- Er wird verwendet, um große Objekte wie Gebäude oder Landkarten in einer verkleinerten Form darzustellen.
- Der Maßstab kann auch dazu dienen, kleine Objekte vergrößert darzustellen.
Es ist wichtig, dass Abstände, Längen und Größen proportional korrekt wiedergegeben werden.
Verhältnismaßstab |
| 1:10.000 bedeutet, dass 1 Einheit auf der Abbildung 10.000 Einheiten in der Realität entspricht. |
| \[\text{reale Länge} = 5 \ cm \cdot \frac{10000}{1} = 50000 \ cm = 500 \ m\] |
Aufgaben / Übung [TIMER:2400]
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Ah;22;1-2;Lb;62;1-3;Lb**;62;4-5]
Mit Maßstäben verkleinern und vergrößern
Maßstäblches Verkleinern
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Ah;18;1-2;Ah;19;3-4;Lb;58;1-3]
Maßstäbliches Vergrößern
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Ah;20;1-2; Ah;21;3-4;Lb;59;1-3]
Aufgabe 1: Berechne. Gib den vollständigen Rechenweg an.
| a) Auf einer Landkarte im Maßstab 1:50.000 beträgt die Entfernung zwischen zwei Städten 4 cm. Berechne die tatsächliche Entfernung in Kilometern. |
| b) Eine Strecke auf einem Stadtplan im Maßstab 1:10.000 ist 12 cm lang. Bestimme die tatsächliche Länge dieser Strecke in der Realität. |
| c) Auf einem Bauplan im Maßstab 1:200 beträgt die Länge eines Raumes 8 cm. Berechne die tatsächliche Länge des Raumes in Metern. |
| d) Eine Straße ist auf einer Karte im Maßstab 1:25.000 mit einer Länge von 7 cm eingezeichnet. Ermittle die tatsächliche Länge der Straße in der Realität. |
| e) Ein Weg im Park ist auf einem Plan im Maßstab 1:5.000 mit 2,5 cm dargestellt. Berechne die tatsächliche Länge des Weges in der Realität. |
| f) Auf einer Landkarte im Maßstab 1:100.000 ist die Entfernung zwischen zwei Dörfern 3,5 cm. Bestimme die tatsächliche Entfernung in Kilometern. |
| g) Eine Eisenbahnstrecke ist auf einer Karte im Maßstab 1:75.000 mit 6 cm markiert. Berechne die tatsächliche Länge der Strecke in Kilometern. |
| h) Ein Flussabschnitt ist auf einer Karte im Maßstab 1:30.000 mit 10 cm eingezeichnet. Bestimme die tatsächliche Länge des Flussabschnitts in der Realität. |
| i) Die Länge einer Brücke ist auf einem Plan im Maßstab 1:500 mit 3 cm dargestellt. Berechne die tatsächliche Länge der Brücke in Metern. |
| j) Auf einer Landkarte im Maßstab 1:250.000 beträgt die Luftlinie zwischen zwei Städten 2 cm. Ermittle die tatsächliche Entfernung in Kilometern. |
Aufgabe 2: Berechne. Gib den vollständigen Rechenweg an.
| a) Eine Ameise ist in Wirklichkeit 6 mm lang. Auf einer Zeichnung wird sie im Maßstab 5:1 dargestellt. Berechne ihre Länge auf der Zeichnung in Zentimetern. |
| b) Eine Schraube ist 4 cm lang. Sie wird in einer technischen Zeichnung im Maßstab 3:1 dargestellt. Bestimme die Länge der Schraube auf der Zeichnung. |
| c) Ein Insekt ist in Wirklichkeit 8 mm lang. Auf einer Abbildung wird es im Maßstab 10:1 dargestellt. Berechne seine Länge auf der Abbildung in Zentimetern. |
| d) Eine kleine elektronische Komponente ist 1,5 cm breit. In einem Bauplan wird sie im Maßstab 4:1 dargestellt. Ermittle ihre Breite auf dem Bauplan in Zentimetern. |
| e) Ein Samenkorn ist 5 mm lang. In einem Biologiebuch wird es im Maßstab 12:1 dargestellt. Berechne seine Länge in der Abbildung in Zentimetern. |
| f) Ein Zahnrädchen hat in Wirklichkeit einen Durchmesser von 2,5 cm. In einer technischen Zeichnung wird es im Maßstab 6:1 dargestellt. Bestimme seinen Durchmesser in der Zeichnung. |
| g) Ein kleines Bauteil ist 7 mm lang. Es wird auf einer Zeichnung im Maßstab 20:1 dargestellt. Berechne seine Länge auf der Zeichnung in Zentimetern. |
| h) Ein Blatt einer Pflanze ist in Wirklichkeit 3 cm lang. In einer vergrößerten Abbildung wird es im Maßstab 2:1 dargestellt. Bestimme seine Länge in der Abbildung. |
| i) Ein winziger Käfer ist in Wirklichkeit 4 mm breit. Auf einer Zeichnung beträgt seine Breite 8 cm. Ermittle den Vergrößerungsmaßstab. |
| j) Ein Bauteil ist in Wirklichkeit 12 mm lang. Auf einer technischen Zeichnung beträgt seine Länge 9,6 cm. Berechne den Vergrößerungsmaßstab. |
Gib den Maßstab an (Abbildung : Original).
Runde abgeschlossen!
Aufgaben / Übung [TIMER:2400]
[TASK{Mathematik 9}{Hausaufgabe}:Lb;60;1-2]
Rechenweg anzeigen
Definition: Ähnliche Figuren
Zwei geometrische Figuren heißen ähnlich, wenn sie die gleiche Form besitzen. Ihre Größe kann unterschiedlich sein.
Bei ähnlichen Vielecken gilt:
- Entsprechende Winkel sind gleich groß.
- Entsprechende Seitenlängen stehen im gleichen Verhältnis zueinander.
Dieses Verhältnis nennt man Ähnlichkeitsfaktor (Streckungsfaktor) \(k\).
Ist \(k>1\), liegt eine Vergrößerung vor. Ist \(0<k<1\), liegt eine Verkleinerung vor.
Aufgaben / Übung [TIMER:1800]
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Ah;23;1-2;Lb;64;1-2]
Ziehe A, B oder C, um die Form zu verändern. Verschiebe anschließend das grüne Dreieck über das blaue. Entsprechende Ecken rasten ein; vergleiche die Winkel.
Aufgaben / Übung [TIMER:1200]
[TASK{Mathematik 9}{Stundenaufgabe}:Lb**;64;4]