Satz des Thales
Einstieg
Sitzplätze im Amphitheater vs. Kino
Stell dir vor, du bist Veranstaltungsplaner und musst Sitzplätze für zwei verschiedene Veranstaltungsorte gestalten: ein antikes Amphitheater und ein modernes Kino. Beide sollen eine möglichst gute Sicht auf das Geschehen bieten.
Aufgabe:
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Beschreibe kurz die Bauweise eines antiken Amphitheaters. Skizziere oder beschreibe, wie die Sitzplätze im Amphitheater angeordnet sind.
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Beschreibe nun die typische Bauweise eines modernen Kinos. Skizziere oder beschreibe, wie die Sitzplätze im Kino angeordnet sind.
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Überlegt gemeinsam in der Klasse, welche Bauweise (Amphitheater oder Kino) deiner Meinung nach den Zuschauern eine bessere Sicht auf das Geschehen bietet. Begründet eure Vermutungen.
Erarbeitung
Sitzpläne zeichnen und beste Plätze finden
In dieser Aufgabe werdet ihr die Sitzpläne für ein Kino und ein Amphitheater zeichnen und mithilfe eines Geodreiecks den besten Platz in jedem Veranstaltungsort ermitteln.
Schritt 1: Zeichnung der Sitzpläne
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Zeichnet auf einem Blatt Papier den Sitzplan für ein Kino. Stellt euch vor, die Leinwand ist vorne, und die Sitzplätze sind parallel dazu angeordnet. Markiert die Sitzplatznummern.
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Zeichnet auf einem anderen Blatt Papier den Sitzplan für ein Amphitheater. Hier sind die Sitzplätze in einem Halbkreis angeordnet, sodass der Durchmesser der imaginäre Kreis ist. Markiert auch hier die Sitzplatznummern.
Schritt 2: Ermittlung der besten Plätze
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Nehmt ein Geodreieck und legt es auf eure Kino-Zeichnung. Überlegt, wo im Kino der beste Platz für eine optimale Sicht auf die Leinwand ist, und markiert diesen Platz mit einem Stern oder einem anderen Symbol.
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Wiederholt diesen Schritt für das Amphitheater. Findet heraus, welcher Platz im Amphitheater den besten Blick auf die Bühne bietet, und markiert ihn ebenfalls.
Schritt 3: Diskussion und Begründung
- Tauscht euch in der Klasse darüber aus, welche Plätze ihr für das Kino und das Amphitheater ausgewählt habt und warum ihr diese Plätze für die besten haltet. Welche geometrischen Überlegungen habt ihr dabei angestellt?
Ergebnissicherung
Sichtverhältnisse im Amphitheater und Kino
Nachdem wir die Sitzpläne für das Amphitheater und das Kino analysiert und die besten Plätze ermittelt haben, können wir einige wichtige Erkenntnisse festhalten:
Amphitheater:
- Im Amphitheater befindet sich der gesamte Bühnenbereich in einem 90°-Winkel auf jedem beliebigen Sitzplatz.
- Das bedeutet, dass von jedem Sitzplatz im Amphitheater aus eine hervorragende Sicht auf die Bühne und das Geschehen darauf gewährleistet ist.
Kino:
- Im Kino gibt es Bereiche auf der Bildfläche, die man ohne eine Kopfbewegung nicht einsehen kann.
- Dies liegt daran, dass die Sitzplätze parallel zur Leinwand angeordnet sind, und die seitliche Sicht auf die Leinwand eingeschränkt sein kann.
Definition: Satz des Thales
In einem Halbkreis ist jeder Winkel, der durch einen Punkt auf dem Halbkreis und den Endpunkten des Durchmessers gebildet wird, ein rechter Winkel (90 Grad).
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Konstruiere die folgenden Dreiecke mithilfe des Satzes des Thales.
a) \(a = 2,9 \ cm; \quad c = 4,6 \ cm; \gamma = 90°\)
b) \(b = 3,3 \ cm; \quad c = 5,8 \ cm; \gamma = 90°\)
c) \(a = 6,2 \ cm; \quad c = 1,5 \ cm; \alpha = 90°\)
d) \(a = 6,8 \ cm; \quad b = 4,5 \ cm; \alpha = 90°\)
e) \(b = 5,6 \ cm; \quad c = 3,7 \ cm; \beta = 90°\)
f) \(a = 2,9 \ cm; \quad b = 4,8 \ cm; \beta = 90°\)
Aufgabe 2: Konstruiere die folgenden Dreiecke mithilfe des Satzes des Thales.
a) \(c = 5,6 \ cm; \quad \alpha = 53°; \gamma = 90°\)
b) \(c = 6,2 \ cm; \quad \beta = 68°; \gamma = 90°\)
c) \(a = 4,8 \ cm; \quad \alpha = 90°; \beta = 37°\)
d) \(a = 5,2 \ cm; \quad \alpha = 90° ; \gamma = 45°\)
e) \(b = 6,4 \ cm; \quad \alpha = 23° ; \beta = 90°\)
f) \(b = 5,8 \ cm; \quad \gamma = 75° ; \beta = 90°\)
Aufgabe 3:
a ) Lena will mithilfe des Satzes des Thales von dem Punkt P die Tangenten an den Kreis konstruieren. Welchen ersten Konstruktionsschritt hat sie bereits ausgeführt?
b ) Beschreibe die nächsten Schritte .
Aufgabe 4: Zeichne einen Kreis um M und konstruiere von einem Punkt P außerhalb des Kreises die Tangenten an den Kreis .
| a) | b) | c) | |
|---|---|---|---|
| Radius \(r\) | 3 cm | 2,8 cm | 1,5 cm |
| Strecke \(\overline{MP}\) | 7 cm | 6,6 cm | 4,4 cm |