Trapez
Einstieg
Einstiegsaufgabe: Der Stahlträger am Kran
Auf einer Baustelle wird ein Stahlträger mit einem Kran nach oben gezogen. Damit der Träger beim Hochziehen nicht ins Schwingen gerät, wird er von zwei Bauarbeitern mit Seilen nach außen stabilisiert.
Der Stahlträger ist \(3{,}5\,\text{m}\) lang und befindet sich \(4\,\text{m}\) über dem Boden. Die beiden Bauarbeiter stehen am Boden \(6\,\text{m}\) voneinander entfernt.
Von vorne betrachtet bilden der Boden, der Stahlträger und die beiden Seile zusammen ein symmetrisches Trapez.
Aufgabe:
- Fertige eine Skizze der Situation an.
- Ermittle möglichst genau, wie lang ein Seil ist.
- Ermittle, wie viel Seil insgesamt benötigt wird.
- Ermittle den Flächeninhalt der Fläche, die von Boden, Stahlträger und den beiden Seilen eingeschlossen wird.
Hinweis: Du musst die Größen noch nicht mit einer Formel berechnen. Nutze eine Zeichnung, Misswerte, Zerlegungen oder andere geeignete Ideen.
Flächeninhalt eines Trapezes
Die Mittellinie m verbindet die Mittelpunkte der beiden Schenkel. Die beiden äußeren Dreiecke werden außen herum um diese Mittelpunkte geklappt. So entsteht ein Rechteck mit der Breite m und der Höhe h.
Trapez zum Rechteck klappen
Die Dreiecke klappen nacheinander außen herum. Das Trapez muss dabei nicht symmetrisch sein.
Einstellungen
Animation
Begründung
Definition: Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens ein Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind.
Definition: Symmetrisches Trapez
Ein symmetrisches Trapez ist ein Trapez, bei dem die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.
Diese beiden Seiten nennt man auch Schenkel.
Flächeninhalt und Umfang
Es gilt
\[\Large u = a + b + c + d\]
\[\Large A = \frac{a+c}{2} \cdot h\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe: Trapez konstruieren
Für jedes Trapez gilt:
- Zeichne zuerst eine Planfigur in dein Heft. Markiere darin alle gegebenen Größen.
- Konstruiere das Trapez anschließend im Grafikfenster.
- Schreibe danach eine Konstruktionsbeschreibung in dein Heft.
- Konstruiere das Trapez nun mit Zirkel, Lineal und Geodreieck sauber im Heft.
- Bestimme abschließend Umfang und Flächeninhalt.
Verwende die Bezeichnungen:
| a = Grundseite AB | c = Grundseite CD | b, d = Schenkel |
| \(a \parallel c\) | \(e = AC\) = Diagonale | \(f = BD\) = Diagonale |
| \(h\) = Höhe | U = Umfang | A = Flächeninhalt |
Hilfreiche Formeln:
| \(U = a + b + c + d\) | \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\) | \(m = \frac{a + c}{2}\) |
| \(A = m \cdot h\) | mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel | beim symmetrischen Trapez gilt: \(b = d\) |
Aufgaben / Übung
Aufgabe: Konstruiere die angegebenen Trapeze in deinem Heft. Zeichne zuerst eine Planfigur und schreibe anschließend eine Konstruktionsbeschreibung.
| Nr. | Gegeben sind |
|---|---|
| a) | \(a = 8\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\), \(h = 4\,\text{cm}\), \(d = 5\,\text{cm}\) |
| b) | \(a = 7\,\text{cm}\), \(c = 4\,\text{cm}\), \(h = 3\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\) |
| c) | \(a = 9\,\text{cm}\), \(c = 6\,\text{cm}\), \(h = 4\,\text{cm}\), \(b = d\) |
| d) | \(a = 8\,\text{cm}\), \(c = 4\,\text{cm}\), \(b = d = 5\,\text{cm}\) |
| e) | \(a = 10\,\text{cm}\), \(c = 6\,\text{cm}\), \(h = 5\,\text{cm}\), \(d = 6\,\text{cm}\) |
| f) | \(a = 9\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\), \(h = 4\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\) |
| g) | \(a = 7{,}5\,\text{cm}\), \(c = 4{,}5\,\text{cm}\), \(h = 3\,\text{cm}\), \(b = d\) |
| h) | \(a = 8\,\text{cm}\), \(c = 3\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), \(d = 4\,\text{cm}\) |
| i) | \(a = 10\,\text{cm}\), \(c = 7\,\text{cm}\), \(h = 4\,\text{cm}\), \(b = d\) |
| j) | \(a = 9\,\text{cm}\), \(c = 4\,\text{cm}\), \(b = d = 5{,}5\,\text{cm}\) |
| k) | \(a = 11\,\text{cm}\), \(c = 6\,\text{cm}\), \(h = 5\,\text{cm}\), \(d = 6{,}5\,\text{cm}\) |
| l) | \(a = 8{,}5\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\), \(h = 3{,}5\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\) |
Konstruktionsassistent: Trapez
Trage die gegebenen Größen ein. Das Tool erkennt eine passende Konstruktionsidee und gibt die Schritte nacheinander aus. Die Anleitung ist für die Papierkonstruktion gedacht.
Gegebene Größen eintragen
Gut funktionieren zum Beispiel: \(a+c+h+d\), \(a+c+h+b\), \(a+c+b+d\), \(a+c+h\) beim symmetrischen Trapez oder \(a+c+b=d\).