Zueinander entgegengesetzte Zahlen
Einstieg
Um zukünftig komplexere mathematische Probleme lösen zu können, müssen wir zwei neue Zahlenmengen definieren, die über die bisher bekannten hinausgehen und uns erweiterte Möglichkeiten zur Darstellung und Berechnung bieten.
Aufgabe 1: Übertrage die Merkkästen in dein Heft.
[TIMER:420]
Definition: Ganze Zahlen \(\mathbb{Z}\)
Ganze Zahlen umfassen die natürlichen Zahlen \(\left\{0, 1, 2, 3, \ldots\right\}\) und ihre negativen Gegenspieler \(\left\{-0, -1, -2, -3, \ldots\right\}\).
\[\mathbb{Z} = \left\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\right\}\]
Ganze Zahlen umfassen alle positiven und negativen Zahlen, die keine Brüche oder Dezimalstellen (außerder 0) enthalten.
Beispiele: \(-4\), \(0\) und \(7\).
Definition: Rationale Zahlen \(\mathbb{Q}\)
Rationale Zahlen \(q \in \mathbb{Q}\) sind alle Zahlen, die als Bruch aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können, wobei der Nenner nicht null ist.
\[\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} | \ a,b \in \mathbb{Z}, \ b \neq 0 \right\}\]
Rationale Zahlen können sowohl positive als auch negative Werte und beliebige ganze Zahlen und Brüche annehmen.
Beispiele: \(\frac{2}{3}\), \(-\frac{5}{4}\), \(7\).
[TIMER:480]
Aufgabe 2: Entscheide jeweils, ob es sich um eine natürliche Zahl (\(\mathbb{N}\)), eine ganze Zahl (\(\mathbb{Z}\)) oder eine rationale Zahl (\(\mathbb{Q}\)) handelt. Gib alle Möglichkeiten an, wenn es mehrere Möglichkeiten gibt.
Beispiel:
| \(23\in \mathbb{N}\) | \(-23\notin \mathbb{N}\) | \(23,5\notin \mathbb{N}\) | \(\frac{2}{3}\notin \mathbb{N}\) |
| \(23\in \mathbb{Z}\) | \(-23\in \mathbb{Z}\) | \(23,5\notin \mathbb{Z}\) | \(\frac{2}{3}\notin \mathbb{Z}\) |
| \(23\in \mathbb{Q}\) | \(-23\in \mathbb{Q}\) | \(23,5\in \mathbb{Q}\) | \(\frac{2}{3}\in \mathbb{Q}\) |
a) | b) | c) | |||
|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | \(-3\) | \(5\) | \(-1\) | \(\frac{2}{5}\) | \(-\frac{4}{9}\) |
\(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(8\) | \(0\) | \(7\) | \(-2\) |
\(4\) | \(-\frac{7}{3}\) | \(-6\) | \(3\) | \(\frac{8}{4}\) | \(1\) |
Aufgaben / Übung [TIMER:600]
Aufgabe 2: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Aufgabe 3: Gib jeweils alle Zahlen an, die den gleichen Abstand zur Zahl 0 besitzen.
| a) \(3\) und \(\ldots\) | f) \(\frac{1}{3}\) und \(\ldots\) |
| b) \(-4\) und \(\ldots\) | g) \(-\frac{8}{3}\) und \(\ldots\) |
| c) \(2,5\) und \(\ldots\) | h) \(9\) und \(\ldots\) |
| d) \(-6\) und \(\ldots\) | i) \(-10\) und \(\ldots\) |
| e) \(7\) und \(\ldots\) | j) \(\frac{11}{4}\) und \(\ldots\) |
Definition: Betrag einer Zahl
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null auf der Zahlengeraden, unabhängig davon, ob die Zahl positiv oder negativ ist. Er wird durch zwei senkrechte Striche um die Zahl herum dargestellt.
\[|a| = a \text{ und } |-a| = a, \quad a \geq 0\]
Beispiel:
| \(|-5| = |5| = 5\) | \(|17| = |-17| = 17\) |
| \(|\frac{2}{3}| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}\) | \(|-0| = |0| = 0\) |
Der Betrag ist immer eine nicht-negative Zahl, da er die Entfernung, aber nicht die Richtung angibt.
Definition: Gegenzahl
Zwei entgegengesetzte Zahlen haben denselben Betrag. Nur das Vorzeichen ist verschieden.
Zu\(+a\) gehört \(-a\) , zu \(-a\) gehört \(+a\).
Aufgaben / Übung [TIMER:900]
Aufgabe 4:
a ) Nenne drei natürliche Zahlen.
b ) Nenne drei ganze Zahlen.
c ) Gib drei ganze Zahlen an, die keine natürlichen Zahlen sind.
d ) Nenne fünf rationale Zahlen
e ) Gib fünf rationale Zahlen an, die keine ganzen Zahlen sind.
f ) Nenne fünf negative rationale Zahlen, die auch ganze Zahlen sind.
g ) Nenne drei rationale Zahlen, die nicht negativ sind und nicht zu den ganzen Zahlen gehören.
h ) Welche rationale Zahl ist weder positiv noch negativ?
i ) Nenne zwei negative rationale Zahlen ,die nicht zu den ganzen Zahlen gehören .
Aufgabe 5: Begründe mithilfe des Betrags, dass die Zahl \(0\) weder positiv noch negativ ist.
Aufgabe 6: Finde je drei positive und drei negative Zahlen , für die gilt :
a ) Der Betrag ist kleiner als 4
b ) Der Betrag ist größer als 5.
c ) Der Betrag liegt zwischen 2 und 3.
d ) Der Betrag liegt zwischen 0,1 und 0,2.
Aufgabe 7:
a) Übertrage das Mengendiagramm in dein Heft.
b) Ergänze die folgenden Zahlen
| \(14\) | \(-27\) | \(0,5\) |
| \(6,25\) | \(-1,75\) | \(\frac{1}{4}\) |
| \(0,37\) | \(-22,3\) | \(36,48\) |
| \(8\) | \(-\frac{3}{8}\) | \(-1,1\) |