Oberflächeninhalt
Definition: Flächeneinheit (Flächenmaß)
Eine Flächeneinheit gibt an, wie groß eine Fläche \(A\) (für engl. Area) ist.
Es beschreibt also, wie viel Platz eine Fläche einnimmt.
Typische Flächeneinheiten sind:
\[mm^2, cm^2, dm^2, m^2, km^2, \ldots\]
Definition: Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist die Summe der Flächeninhalte aller Flächen, aus denen der Körper gebildet wird.
Man berechnet also jede einzelne Fläche des Körpers und addiert alle Flächeninhalte.
\[O = A_1 + A_2 + A_3 + \ldots\]
Definition: Oberflächeninhalt eines Würfels
Ein Würfel hat sechs gleich große quadratische Flächen. Jede dieser Flächen hat den Flächeninhalt a · a.
Der Oberflächeninhalt eines Würfels berechnet sich daher mit:
\[O= 6 \cdot a \cdot a\]
oder kürzer:
\[O= 6 \cdot a^2\]
Dabei ist a die Kantenlänge des Würfels.
Aufgabe 1: Berechne den Oberflächeninhalt der Würfel.
| Beispiel: \(a=6\,\text{cm}\) \[ \begin{align*} O &= 6\cdot a^2\\ O &= 6\cdot (6\,\text{cm})^2\\ O &= 6\cdot 36\,\text{cm}^2\\ O &= 216\,\text{cm}^2 \end{align*} \] |
| a) \(a=3\,\text{cm}\) | g) \(a=11\,\text{cm}\) |
| b) \(a=4\,\text{cm}\) | h) \(a=12\,\text{cm}\) |
| c) \(a=5\,\text{cm}\) | i) \(a=14\,\text{cm}\) |
| d) \(a=6\,\text{cm}\) | j) \(a=15\,\text{cm}\) |
| e) \(a=8\,\text{cm}\) | k) \(a=18\,\text{cm}\) |
| f) \(a=10\,\text{cm}\) | l) \(a=20\,\text{cm}\) |
Definition: Oberflächeninhalt eines Quaders
Ein Quader hat drei verschiedene Flächenpaare. Jede dieser Flächen kommt zweimal vor.
Der Oberflächeninhalt eines Quaders berechnet sich daher mit:
\[O= 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c\]
oder kürzer:
\[O= 2 \cdot ( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)\]
Dabei sind a, b und c die drei Kantenlängen des Quaders.
Aufgabe 2: Berechne den Oberflächeninhalt der Quader.
| Beispiel: \(a=8\,\text{cm}\), \(b=5\,\text{cm}\), \(c=4\,\text{cm}\) \[ \begin{align*} O &= 2\cdot(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)\\ &= 2\cdot(8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}+8\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm}+5\,\text{cm}\cdot4\,\text{cm})\\ &= 2\cdot(40\,\text{cm}^2+32\,\text{cm}^2+20\,\text{cm}^2)\\ &= 2\cdot92\,\text{cm}^2\\ &= 184\,\text{cm}^2 \end{align*} \] |
| a) \(a=6\,\text{cm}\), \(b=4\,\text{cm}\), \(c=3\,\text{cm}\) | g) \(a=12\,\text{cm}\), \(b=8\,\text{cm}\), \(c=5\,\text{cm}\) |
| b) \(a=7\,\text{cm}\), \(b=5\,\text{cm}\), \(c=3\,\text{cm}\) | h) \(a=14\,\text{cm}\), \(b=9\,\text{cm}\), \(c=6\,\text{cm}\) |
| c) \(a=8\,\text{cm}\), \(b=6\,\text{cm}\), \(c=4\,\text{cm}\) | i) \(a=15\,\text{cm}\), \(b=10\,\text{cm}\), \(c=6\,\text{cm}\) |
| d) \(a=9\,\text{cm}\), \(b=6\,\text{cm}\), \(c=5\,\text{cm}\) | j) \(a=16\,\text{cm}\), \(b=12\,\text{cm}\), \(c=7\,\text{cm}\) |
| e) \(a=10\,\text{cm}\), \(b=7\,\text{cm}\), \(c=4\,\text{cm}\) | k) \(a=18\,\text{cm}\), \(b=12\,\text{cm}\), \(c=8\,\text{cm}\) |
| f) \(a=11\,\text{cm}\), \(b=7\,\text{cm}\), \(c=5\,\text{cm}\) | l) \(a=20\,\text{cm}\), \(b=15\,\text{cm}\), \(c=10\,\text{cm}\) |