Erweitern und Kürzen
Einstieg
Maria hat Geburtstag. Ihre Mutter hat ihr einen kreisrunden Apfelkuchen gebacken. Zusammen mit ihrer Mutter überlegt sie, in wie viele gleich große Stücke der Kuchen geteilt werden soll.
In ihrem Großmut kündigt sie an, dass sie \(\frac{1}{4}\) des Kuchens essen möchte.
a) Bestimme die Anzahl der Stücke, wenn der Kuchen in exakt 4 Stücke geteilt wird. Skizziere den Sachverhalt zusätzlich in deinem Heft.
b) Der Kuchen könnte in 4, 8, 12 oder 16 Teile geteilt werden. Ermittle die Anzahl der Stücke, die sie in dieser Stückelung verspeisen möchte.
c) Gib eine Regel an, mit der man die Stückelungen aus b) berechnen kann.
d) Begründe, dass sie bei keiner anderen Stückelungen bis 16, außer den angegebenen Stückelungen, ihren Anteil mit \(\frac{1}{4}\) angeben könnte, wenn sie nur ganze Kuchenstücke isst.
e) Gib die nächsten Teilungen an, bei denen ihre Ansage von \(\frac{1}{4}\) des Kuchens mit ganzen Kuchenstücken wahr machen könnte.
Verfeinern eines Bruchs
Angenommen, deine Pizza ist in vier Teile geschnitten.
Wenn du jeden dieser Teile wieder in zwei Teile schneidest, hast du jetzt acht kleinere Stücke. Jedes dieser neuen Stücke ist kleiner, repräsentiert aber immer noch den gleichen Anteil der Gesamtpizza.
Das ist so, als würdest du ein Bild in mehrere kleinere Abschnitte teilen, wobei die Gesamtgröße des Bildes gleich bleibt.
Vergröbern eines Bruchs
Stell dir nun vor, deine Pizza ist in acht Stücke geschnitten.
Wenn du diese Stücke zu groß findest und beschließt, jeweils zwei Stücke zusammenzulegen, um größere Stücke zu erhalten, hast du jetzt nur noch vier Teile.
Du hast einige kleine Teile zu größeren zusammengefasst, aber die gesamte Pizza bleibt die gleiche.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Übertrage in dein Heft und vergleiche die Brüche mithilfe eines Gleichheitszeichens.
Aufgabe 2: Gib jeweils mindestens zwei Brüche an, die den gleichen Bruchteil bezeichnen.
Aufgabe 3: Zeichne für jede Teilaufgabe ein Rechteck mit 24 Kästchen in dein Heft und stelle die angegebenen Brüche dar. Gib jeweils noch zwei weitere Brüche an, die den gleichen Bruchteil bezeichnen.
a) \(\frac{2}{3}\)
b) \(\frac{1}{24}\)
c) \(\frac{1}{6}\)
d) \(\frac{4}{12}\)
Aufgabe 4: Zeichne für jede Teilaufgabe ein Quadrat mit 100 Kästchen in dein Heft und stelle die angegebenen Brüche dar. Gib jeweils noch zwei weitere Brüche an, die den gleichen Bruchteil bezeichnen, falls möglich.
a) \(\frac{1}{5}\)
b) \(\frac{3}{10}\)
c) \(\frac{1}{4}\)
d) \(\frac{2}{20}\)
Aufgabe 5: Gib jeweils mindestens zwei Brüche an, die den dargestellten Bruchteil bezeichnen.
Aufgabe 6:
a) Übertrage die Rechtecke in dein Heft und gib jeweils den dargestellten Bruchteil an.
b) Zeichne für jedes der Rechtecke ein weiteres Rechteck mit einer gröberen Einteilung und bezeichne auch dort den gefärbten Anteil.
Aufgabe 7:
a) Übertrage die Rechtecke in dein Heft und gib jeweils den dargestellten Bruchteil an.
b) Zeichne zu jedem Rechteck ein weiteres Rechteck mit einer feineren Einteilung und bezeichne auch dort den gefärbten Anteil.
Aufgabe 8: Beschreibe, wie man zu einem beliebigen Bruch einen anderen gleichwertigen Bruch finden kann.
Aufgabe 9: Gib zu den Brüchen jeweils einen gröberen und einen feineren Bruch an, der gleichwertig ist.
a) \(\frac{6}{8}\)
b) \(\frac{5}{30}\)
c) \(\frac{4}{10}\)
d) \(\frac{2}{6}\)
Aufgabe 10: Gib jeden dargestellten Bruch an und jeweils mindestens drei passende Brüche, die man nicht unmittelbar ablesen kann.
a), b), d), f), i), l)
c), e), k)
g), h), m)
Definition: Erweitern und Kürzen
Das Erweitern und Kürzen von Brüchen sind zwei wichtige Konzepte in der Mathematik, die helfen, Brüche zu vergleichen, zu addieren oder zu subtrahieren. Beide Methoden ändern das Aussehen eines Bruchs, aber nicht seinen Wert.
Erweitern eines Bruchs:
Beim Erweitern multiplizierst du sowohl den Zähler (die obere Zahl des Bruchs) als auch den Nenner (die untere Zahl) mit derselben Zahl, die nicht null ist. Dieses Vorgehen ändert nicht den Wert des Bruchs, sondern nur seine Darstellung.
Beispiel: Wenn du den Bruch \(\frac{1}{2}\) mit 3 erweiterst, multiplizierst du sowohl Zähler als auch Nenner mit 3, was \(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}\) ergibt. Der Bruch \(\frac{3}{6}\) ist gleichwertig mit \(\frac{1}{2}\) , aber er ist in einer anderen Form dargestellt.
Kürzen eines Bruchs:
Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (außer Null), um einen einfacheren, aber gleichwertigen Bruch zu erhalten. Das Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns.
Beispiel: Wenn du den Bruch \(\frac{4}{8}\) kürzt, kannst du sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 4 teilen, was zu \(\frac{4 : 4}{8 : 4} = \frac{1}{2}\) führt. Der Bruch \(\frac{1}{2}\) ist der vereinfachte oder gekürzte Ausdruck von \(\frac{4}{8}\).
Diese Techniken sind besonders nützlich, um Brüche zu vereinfachen oder um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu vergleichen oder zusammenzufassen. Sie tragen dazu bei, mathematische Probleme zu vereinfachen und die Klarheit in der Bruchrechnung zu erhöhen.
Erweitern
\[\Huge \rightarrow\]
\(\frac{2}{3}\) wird mit der Zahl 2 erweitert.
\[\Huge \frac{2}{3} \overset{\cdot 2}{=} \frac{2\cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}\]
Merke: Zähler und Nenner werden beim Erweitern mit der gleichen Zahl multipliziert.
Kürzen
\[\Huge \rightarrow\]
\(\frac{4}{6}\) wird mit der Zahl 2 gekürzt.
\[\Huge \frac{4}{6} \overset{: 2}{=} \frac{4 :2}{6 : 2} = \frac{2}{3}\]
Merke: Zähler und Nenner werden beim Kürzen mit der gleichen Zahl dividiert.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 11: Notiere die Zahl, mit der erweitert wurde, über dem Gleichheitszeichen.
a) \(\frac{1}{7} \overset{\cdot5}{=} \frac{5}{35} \)
b) \(\frac{1}{8} = \frac{6}{48} \)
c) \(\frac{2}{5} = \frac{14}{35} \)
d) \(\frac{3}{8} = \frac{18}{48}\)
e) \(\frac{2}{11} = \frac{14}{77} \)
f) \(\frac{4}{7} = \frac{32}{56} \)
g) \(\frac{4}{9} = \frac{12}{27} \)
h) \(\frac{7}{10} = \frac{28}{40} \)
i) \(\frac{3}{4} = \frac{27}{36}\)
Aufgabe 12: Bestimme die Zahl, mit der gekürzt wurde.
a) \(\frac{54}{81} \overset{:9}{=} \frac{6}{9} \)
b) \(\frac{20}{140} = \frac{2}{14} \)
c) \(\frac{60}{72} = \frac{5}{6} \)
d) \(\frac{64}{80} = \frac{8}{10}\)
e) \(\frac{49}{84} = \frac{7}{12} \)
f) \(\frac{30}{57} = \frac{10}{19} \)
g) \(\frac{42}{48} = \frac{7}{8} \)
h) \(\frac{21}{69} = \frac{7}{23} \)
i) \(\frac{21}{49} = \frac{3}{7}\)
Aufgabe 13: Finde heraus, ob erweitert oder gekürzt wurde und bestimme anschließend die passende Zahl. Notiere Operator und die gesuchte Zahl an der richtigen Stelle!
a) \(\frac{2}{7} = \frac{4}{14} \)
b) \(\frac{15}{20} = \frac{3}{4} \)
c) \(\frac{7}{63} = \frac{1}{9} \)
d) \(\frac{15}{45} = \frac{3}{9}\)
e) \(\frac{7}{8} = \frac{28}{32} \)
f) \(\frac{12}{20} = \frac{6}{10} \)
g) \(\frac{25}{100} = \frac{5}{20} \)
h) \(\frac{4}{9} = \frac{12}{27} \)
i) \(\frac{4}{3} = \frac{16}{12}\)
Aufgabe 14: Bestimme die Brüche, die richtig erweitert oder gekürzt wurden. Die Buchstaben ergeben ein Lösungswort.
Aufgabe 15: Suche die passende Erweiterungszahl und bestimme den Platzhalter.
a) \(\frac{5}{6} = \frac{\square}{30} \)
b) \(\frac{11}{16} = \frac{55}{\square} \)
c) \(\frac{35}{80} = \frac{70}{\square} \)
d) \(\frac{6}{7} = \frac{\square}{21}\)
e) \(\frac{3}{4} = \frac{27}{\square} \)
f) \(\frac{5}{13} = \frac{\square}{65} \)
g) \(\frac{3}{10} = \frac{\square}{50} \)
h) \(\frac{7}{9} = \frac{42}{\square} \)
i) \(\frac{12}{17} = \frac{84}{\square}\)
Aufgabe 16: Suche die Kürzungszahl und berechne den Platzhalter.
a) \(\frac{15}{35} = \frac{\square}{7} \)
b) \(\frac{16}{20} = \frac{8}{\square} \)
c) \(\frac{21}{36} = \frac{7}{\square} \)
d) \(\frac{32}{48} = \frac{\square}{24}\)
e) \(\frac{26}{39} = \frac{\square}{3} \)
f) \(\frac{64}{96} = \frac{16}{\square}\)
Aufgabe 17: Bestimme den Platzhalter.
a) \(\frac{24}{\square} = \frac{72}{96} \)
b) \(\frac{\square}{16} = \frac{90}{96} \)
c) \(\frac{13}{17} = \frac{65}{\square} \)
d) \(\frac{63}{84} = \frac{\square}{12}\)
e) \(\frac{96}{\square} = \frac{8}{9} \)
f) \(\frac{52}{88} = \frac{13}{\square} \)
g) \(\frac{5}{12} = \frac{\square}{60} \)
h) \(\frac{4}{9} = \frac{\square}{90} \)
i) \(\frac{2}{\square} = \frac{16}{64}\)
Aufgabe 18: Kürze so weit wie möglich.
a) \(\frac{12}{18}\)
b) \(\frac{6}{9}\)
c) \(\frac{12}{16}\)
d) \(\frac{20}{25}\)
e) \(\frac{18}{30}\)
f) \(\frac{6}{16} \)
g) \(\frac{30}{50}\)
h) \(\frac{26}{36}\)
i) \(\frac{24}{28}\)
j) \(\frac{16}{18}\)
k) \(\frac{40}{45}\)
l) \(\frac{21}{28}\)
Lösung (15):
| \(15\) | \(18\) | \(25\) |
| \(25\) | \(36\) | \(54\) |
| \(80\) | \(119\) | \(160\) |
Lösung (16):
| \(2\) | \(3\) | \(10\) |
| \(12\) | \(16\) | \(24\) |
Lösung (17):
| \(8\) | \(9\) | \(15\) |
| \(25\) | \(25\) | \(32\) |
| \(40\) | \(85\) | \(108\) |