Das Ganze aus Anteilen berechnen
Wiederholung
Aufgabe E1: Berechne nach Möglichkeit im Kopf.
a) \( 15 \cdot 13 = \square \)
b) \( 33 \cdot 7 = \square \)
c) \( 50 \cdot 4 = \square \)
d) \( 100 \cdot 2 = \square \)
e) \( 25 \cdot 8 = \square \)
f) \( 90 \cdot 2 = \square \)
g) \( 60 \cdot 3 = \square \)
h) \( 40 \cdot 5 = \square \)
i) \( 11 \cdot 18 = \square \)
j) \( 24 \cdot 9 =\square \)
k) \( 35 \cdot 6 = \square \)
l) \( 16 \cdot 13 = \square \)
m) \( 20 \cdot 10 = \square \)
n) \( 55 \cdot 4 = \square \)
o) \( 80 \cdot 2 = \square \)
p) \( 36 \cdot 6 = \square \)
q) \( 12 \cdot 17 = \square \)
r) \( 44 \cdot 5 = \square \)
s) \( 75 \cdot 2 = \square \)
t) \( 27 \cdot 8 = \square \)
Aufgabe E2: Dividiere schriftlich, falls nötig.
a) \( 675 : 25 = \square \)
b) \( 483 : 21 = \square \)
c) \( 868 : 14 = \square \)
d) \( 920 : 23 = \square \)
e) \( 1080 : 24 = \square \)
f) \( 1260 : 28 = \square \)
g) \( 1640 : 40 = \square \)
h) \( 1880 : 47 = \square \)
i) \( 2320 : 58 = \square \)
j) \( 1890 : 63 = \square \)
a) \( 15 \cdot 13 = 195 \)
b) \( 33 \cdot 7 = 231 \)
c) \( 50 \cdot 4 = 200 \)
d) \( 100 \cdot 2 = 200 \)
e) \( 25 \cdot 8 = 200 \)
f) \( 90 \cdot 2 = 180 \)
g) \( 60 \cdot 3 = 180 \)
h) \( 40 \cdot 5 = 200 \)
i) \( 11 \cdot 18 = 198 \)
j) \( 24 \cdot 9 = 216 \)
k) \( 35 \cdot 6 = 210 \)
l) \( 16 \cdot 13 = 208 \)
m) \( 20 \cdot 10 = 200 \)
n) \( 55 \cdot 4 = 220 \)
o) \( 80 \cdot 2 = 160 \)
p) \( 36 \cdot 6 = 216 \)
q) \( 12 \cdot 17 = 204 \)
r) \( 44 \cdot 5 = 220 \)
s) \( 75 \cdot 2 = 150 \)
t) \( 27 \cdot 8 = 216 \)
a) \( 675 : 25 = 27 \)
b) \( 483 : 21 = 23 \)
c) \( 868 : 14 = 62 \)
d) \( 920 : 23 = 40 \)
e) \( 1080 : 24 = 45 \)
f) \( 1260 : 28 = 45 \)
g) \( 1640 : 40 = 41 \)
h) \( 1880 : 47 = 40 \)
i) \( 2320 : 58 = 40 \)
j) \( 1890 : 63 = 30 \)
Erarbeitung
Stell dir vor, Elias hat \(\frac{3}{5}\) seines Taschengeldes ausgegeben und dabei 9€ benutzt. Deine Aufgabe ist es nun, herauszufinden, wie viel Taschengeld Elias ursprünglich hatte.
Nutze die Information, dass \(\frac{3}{5}\) seines Geldes 9€ entsprechen, und finde heraus, wie viel 1/5 seines Taschengeldes ist. Anschließend kannst du das gesamte ursprüngliche Taschengeld berechnen.
Schreibe deinen Rechenweg auf und überprüfe ihn sorgfältig.
Viel Spaß beim Knobeln!
Ergebnissicherung
Um das ursprüngliche Taschengeld von Elias zu berechnen, das er hatte, bevor er 9€ ausgegeben hat, können wir die gegebenen Informationen verwenden:
Elias hat \(\frac{3}{5}\) seines Taschengeldes ausgegeben, was 9€ entspricht.
Um das ursprüngliche Taschengeld zu berechnen, stellen wir die folgende Gleichung auf:
| Anteil | Geldwert [in €] |
|---|---|
| \(\frac{3}{5}\) | 9 € |
Um das ursprüngliche Taschengeld zu finden, müssen wir herausfinden, wie viel 1/5 des Taschengeldes ist und dann mit 5 multiplizieren, um das Ganze zu erhalten. Wir teilen also 9€ durch 3, um den Wert eines Fünftels zu finden:
| Anteil | Geldwert [in €] |
|---|---|
| \(\frac{3}{5}\) | 9 € |
| \(\frac{1}{5}\) | 3 € |
Nachdem wir \(\frac{1}{5}\) des Taschengeldes berechnet haben, multiplizieren wir diesen Wert mit 5, um das gesamte ursprüngliche Taschengeld zu erhalten:
| Anteil | Geldwert [in €] |
|---|---|
| \(\frac{3}{5}\) | 9 € |
| \(\frac{1}{5}\) | 3 € |
| \(\frac{5}{5}\) = 1 | 15 € |
\[\Large\begin{align*}\frac{3}{5} & \xrightarrow{: 3} \frac{1}{5} && \xrightarrow{\cdot 5} 1 \\9\ \text{EUR} & \xrightarrow{: 3} 3\ \text{EUR} && \xrightarrow{\cdot 5} 15\ \text{EUR}\end{align*}\]
Erklärung: Das Ganze aus einem Anteil berechnen
Das Berechnen des Ganzen, wenn nur ein Anteil bekannt ist, ist ein häufiges Problem in der Mathematik, das mit Bruchrechnung gelöst werden kann.
Beispiel: \(\frac{2}{3}\) sind \(8\) €.
Hier ist eine allgemeine Erklärung des Vorgehens:
-
Identifiziere den bekannten Anteil: Zuerst musst du den Anteil des Ganzen identifizieren, den du kennst. Dieser wird üblicherweise als Bruch dargestellt.
-
Bestimme den Wert des Anteils: Der Wert dieses Anteils wird gegeben sein.
-
Berechne den Wert eines einzelnen Teils: Um den Wert eines einzelnen Teils zu berechnen, teilst du den bekannten Wert des Anteils durch den Zähler des Bruchs.
Beispiel: Wenn der bekannte Anteil \(\frac{2}{3}\) des Ganzen ist und \(8\) entspricht, rechnest du \(8 : 2 = 4 \). Das bedeutet, dass \(\frac{1}{3}\) des Ganzen 4 wert ist. -
Berechne das Ganze: Um das Ganze zu berechnen, multiplizierst du den Wert eines einzelnen Teils mit dem Nenner des Bruchs.
Beispiel: In unserem Beispiel rechnest du \(4 \cdot 3 = 12\) Das Ganze ist also 12.
Zusammengefasst: Wenn ein Anteil des Ganzen bekannt ist, kann das Ganze berechnet werden, indem man den Wert des Anteils durch den Zähler des Bruchs teilt, um den Wert eines einzelnen Teils zu ermitteln, und diesen Wert dann mit dem Nenner multipliziert.
\[\huge\begin{align*}\square\overset{:3}{\longrightarrow} &&\square \overset{\cdot 2}\longrightarrow &&8 \ \textrm{€}\\ \\12\overset{\cdot 3}{\longleftarrow} &&4 \overset{:2}\longleftarrow &&8 \ \textrm{€} \end{align*}\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Bestimme den Platzhalter.
a) \(\frac{4}{5} \textrm{ von } \square \textrm{ sind } 72 \)
b) \(\frac{3}{7} \textrm{ von } \square \textrm{ sind } 27 \)
c) \(\frac{5}{8} \textrm{ von } \square \textrm{ sind } 60\)
d) \(\frac{7}{10} \textrm{ von } \square \textrm{ sind } 84 \)
e) \(\frac{5}{9} \textrm{ von } \square \textrm{ sind } 40 \)
f) \(\frac{3}{4} \textrm{ von } \square \textrm{ sind } 120 \)
g) \(\frac{2}{11} \textrm{ von } \square \textrm{ sind } 18 \)
h) \(\frac{5}{12} \textrm{ von } \square \textrm{ sind } 40\)
Aufgabe 2: Bestimme den Platzhalter.
a) \(\frac{3}{4} \textrm{ einer Strecke sind } 75 \ cm. \)
b) \(\frac{2}{3}\textrm{ einer Strecke sind } 12 \ m. \)
c) \(\frac{5}{8} \textrm{ einer Strecke sind } 250 \ m. \)
d) \(\frac{5}{7} \textrm{ eines Betrags sind } 85 \ \textrm{€}. \)
e) \(\frac{4}{5} \textrm{ eines Betrags sind } 256 \ \textrm{€}.\)
f) \(\frac{9}{10} \textrm{ einer Masse sind } 450\ g.\)
g) \(\frac{5}{6} \textrm{ einer Masse sind } 1000\ kg.\)
Aufgabe 3: Typisch für Leuchttürme ist die rot weiße Markierung, die zum Erkennungsmerkmal für diese Bauwerke wurde.
Der Leuchtturm „Sichere Fahrt“ ist von der Wasseroberfläche ab gemessen ungefähr 30 Meter hoch. Die Hälfte des Gebäudes ragt aus dem Wasser heraus, ein Drittel wird vom Wasser umspült und das Fundament im Meeresboden ist ein Sechstel der Gesamthöhe.
a) Fertige eine vereinfachte Skizze des Leuchtturms an.
b) Berechne die Wassertiefe an seinem Standort?
c) Berechne die Tiefe, die das Fundament in den Meeresboden hinein ragt.
\[60 \ m \cdot \frac{1}{3} = 60 \ m : 3 \cdot 1 = 20 \ m\]
\[60 \ m \cdot \frac{1}{6} = 60 \ m : 6 \cdot 1 = 10 \ m\]