Flächeninhalt beliebiger Dreiecke mithilfe des Sinus berechnen
Einstieg
[Aufgabentext]
Definition: Flächeninhalt und Sinus
Erklärkasten: Flächeninhalt mit dem Sinus
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man normalerweise mit
\[ A=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h \]
Oft ist die Höhe \(h\) aber nicht direkt gegeben. Wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, kann man die Höhe mit dem Sinus bestimmen.
Im rechtwinkligen Teildreieck gilt:
\[ \sin(\gamma)=\frac{h}{b} \]
Daraus folgt:
\[ h=b\cdot \sin(\gamma) \]
Setzt man diese Höhe in die Flächenformel ein, erhält man:
\[ A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \]
Merke: Du nimmst zwei Seiten und den Winkel, der zwischen diesen beiden Seiten liegt.
Aufgabe 2:
a) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben. Skizziere jeweils das Dreieck.
b) Achte darauf, welche zwei Seiten gegeben sind und welcher Winkel zwischen diesen beiden Seiten liegt.
Verwende:
| \[ A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma) \quad \text{oder} \quad A=\frac{1}{2}\cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta) \quad \text{oder} \quad A=\frac{1}{2}\cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha) \] |
| a) \(a = 8 \ cm\), \(b = 6 \ cm\), \(\gamma = 45^\circ\) | k) \(a = 20 \ cm\), \(c = 15 \ cm\), \(\beta = 42^\circ\) |
| b) \(a = 10 \ cm\), \(c = 7 \ cm\), \(\beta = 50^\circ\) | l) \(b = 13 \ cm\), \(c = 17 \ cm\), \(\alpha = 58^\circ\) |
| c) \(b = 12 \ cm\), \(c = 9 \ cm\), \(\alpha = 35^\circ\) | m) \(a = 22 \ cm\), \(b = 10 \ cm\), \(\gamma = 75^\circ\) |
| d) \(a = 14 \ cm\), \(b = 8 \ cm\), \(\gamma = 60^\circ\) | n) \(a = 19 \ cm\), \(c = 16 \ cm\), \(\beta = 38^\circ\) |
| e) \(a = 9 \ cm\), \(c = 11 \ cm\), \(\beta = 40^\circ\) | o) \(b = 24 \ cm\), \(c = 18 \ cm\), \(\alpha = 52^\circ\) |
| f) \(b = 16 \ cm\), \(c = 10 \ cm\), \(\alpha = 55^\circ\) | p) \(a = 21 \ cm\), \(b = 11 \ cm\), \(\gamma = 68^\circ\) |
| g) \(a = 7 \ cm\), \(b = 13 \ cm\), \(\gamma = 70^\circ\) | q) \(a = 17 \ cm\), \(c = 20 \ cm\), \(\beta = 33^\circ\) |
| h) \(a = 15 \ cm\), \(c = 12 \ cm\), \(\beta = 30^\circ\) | r) \(b = 26 \ cm\), \(c = 14 \ cm\), \(\alpha = 47^\circ\) |
| i) \(b = 18 \ cm\), \(c = 9 \ cm\), \(\alpha = 65^\circ\) | s) \(a = 23 \ cm\), \(b = 19 \ cm\), \(\gamma = 62^\circ\) |
| j) \(a = 11 \ cm\), \(b = 14 \ cm\), \(\gamma = 48^\circ\) | t) \(a = 28 \ cm\), \(c = 21 \ cm\), \(\beta = 36^\circ\) |
Aufgabe 3:
a) Berechne den eingeschlossenen Winkel im Dreieck. Der Flächeninhalt und zwei Seiten sind gegeben. Skizziere jeweils das Dreieck.
b) Achte darauf, welcher Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt.
Verwende:
| \[ \alpha=\sin^{-1}\left(\frac{2A}{b\cdot c}\right) \quad \text{oder} \quad \beta=\sin^{-1}\left(\frac{2A}{a\cdot c}\right) \quad \text{oder} \quad \gamma=\sin^{-1}\left(\frac{2A}{a\cdot b}\right) \] |
| a) \(A = 24 \ cm^2\), \(b = 8 \ cm\), \(c = 9 \ cm\) | k) \(A = 78 \ cm^2\), \(a = 14 \ cm\), \(b = 17 \ cm\) |
| b) \(A = 30 \ cm^2\), \(a = 10 \ cm\), \(c = 8 \ cm\) | l) \(A = 95 \ cm^2\), \(b = 15 \ cm\), \(c = 18 \ cm\) |
| c) \(A = 36 \ cm^2\), \(a = 12 \ cm\), \(b = 9 \ cm\) | m) \(A = 84 \ cm^2\), \(a = 16 \ cm\), \(c = 19 \ cm\) |
| d) \(A = 42 \ cm^2\), \(b = 11 \ cm\), \(c = 10 \ cm\) | n) \(A = 110 \ cm^2\), \(a = 20 \ cm\), \(b = 14 \ cm\) |
| e) \(A = 48 \ cm^2\), \(a = 13 \ cm\), \(c = 9 \ cm\) | o) \(A = 126 \ cm^2\), \(b = 21 \ cm\), \(c = 16 \ cm\) |
| f) \(A = 55 \ cm^2\), \(a = 15 \ cm\), \(b = 10 \ cm\) | p) \(A = 135 \ cm^2\), \(a = 18 \ cm\), \(c = 20 \ cm\) |
| g) \(A = 63 \ cm^2\), \(b = 14 \ cm\), \(c = 12 \ cm\) | q) \(A = 144 \ cm^2\), \(a = 24 \ cm\), \(b = 15 \ cm\) |
| h) \(A = 70 \ cm^2\), \(a = 16 \ cm\), \(c = 11 \ cm\) | r) \(A = 156 \ cm^2\), \(b = 25 \ cm\), \(c = 18 \ cm\) |
| i) \(A = 72 \ cm^2\), \(a = 18 \ cm\), \(b = 12 \ cm\) | s) \(A = 168 \ cm^2\), \(a = 22 \ cm\), \(c = 19 \ cm\) |
| j) \(A = 80 \ cm^2\), \(b = 13 \ cm\), \(c = 17 \ cm\) | t) \(A = 180 \ cm^2\), \(a = 30 \ cm\), \(b = 16 \ cm\) |