Tangens
Aufgabe 1: Nutze die Tangensapp, um eine allgemeine Formel für den Tangens zu erarbeiten.
a) Entwickle eine Formel, mit deren Hilfe man den Tangens anhand der gegebenen Werte berechnen kann.
b) Formuliere die Formel möglichst allgemein mit den Begriffen des rechtwinkligen Dreiecks.
Definition: Tangens im rechtwinkligen Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck beschreibt der Tangens eines Winkels α das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.
\[\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\]
oder kurz
\[\tan(\alpha) = \frac{\text{GK}}{\text{AK}}\]
Denn
\[\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
= \frac{\frac{\text{GK}}{\text{H}}}{\frac{\text{AK}}{\text{H}}}
= \frac{\text{GK}}{\text{H}} \cdot \frac{\text{H}}{\text{AK}}= \frac{\text{GK}}{\text{AK}}\]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 2:
a) Berechne die fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck. Der Winkel \(\alpha\) ist gegeben. Skizziere jeweils das Dreieck.
b) Berechne die Länge der fehlenden Seite.
Verwende:
| \[ \tan(\alpha) \cdot \text{AK}=\text{GK} \quad \text{oder} \quad \text{AK}=\frac{\text{GK}}{\tan(\alpha)} \] |
| a) \(\alpha = 24^\circ\), \(AK = 13 \ cm\) | k) \(\alpha = 39^\circ\), \(GK = 8 \ cm\) |
| b) \(\alpha = 31^\circ\), \(AK = 16 \ cm\) | l) \(\alpha = 52^\circ\), \(GK = 11 \ cm\) |
| c) \(\alpha = 45^\circ\), \(AK = 10 \ cm\) | m) \(\alpha = 28^\circ\), \(GK = 6 \ cm\) |
| d) \(\alpha = 18^\circ\), \(AK = 22 \ cm\) | n) \(\alpha = 63^\circ\), \(GK = 14 \ cm\) |
| e) \(\alpha = 57^\circ\), \(AK = 9 \ cm\) | o) \(\alpha = 34^\circ\), \(GK = 7 \ cm\) |
| f) \(\alpha = 41^\circ\), \(AK = 18 \ cm\) | p) \(\alpha = 49^\circ\), \(GK = 12 \ cm\) |
| g) \(\alpha = 66^\circ\), \(AK = 7 \ cm\) | q) \(\alpha = 22^\circ\), \(GK = 5 \ cm\) |
| h) \(\alpha = 36^\circ\), \(AK = 20 \ cm\) | r) \(\alpha = 71^\circ\), \(GK = 15 \ cm\) |
| i) \(\alpha = 53^\circ\), \(AK = 12 \ cm\) | s) \(\alpha = 44^\circ\), \(GK = 9 \ cm\) |
| j) \(\alpha = 27^\circ\), \(AK = 25 \ cm\) | t) \(\alpha = 59^\circ\), \(GK = 13 \ cm\) |
Aufgabe 3:
a) Berechne den Winkel \(\alpha\) im rechtwinkligen Dreieck. Die Gegenkathete \(GK\) und die Ankathete \(AK\) sind gegeben. Skizziere jeweils das Dreieck.
b) Berechne die Länge der fehlenden Seite.
Verwende:
| \[ \alpha=\tan^{-1}\left({\frac{\text{GK}}{\text{AK}}}\right) \] |
| a) \(GK = 7 \ cm\), \(AK = 12 \ cm\) | k) \(GK = 10 \ cm\), \(AK = 13 \ cm\) |
| b) \(GK = 9 \ cm\), \(AK = 15 \ cm\) | l) \(GK = 6 \ cm\), \(AK = 17 \ cm\) |
| c) \(GK = 11 \ cm\), \(AK = 20 \ cm\) | m) \(GK = 14 \ cm\), \(AK = 16 \ cm\) |
| d) \(GK = 5 \ cm\), \(AK = 18 \ cm\) | n) \(GK = 16 \ cm\), \(AK = 21 \ cm\) |
| e) \(GK = 13 \ cm\), \(AK = 9 \ cm\) | o) \(GK = 8 \ cm\), \(AK = 19 \ cm\) |
| f) \(GK = 4 \ cm\), \(AK = 11 \ cm\) | p) \(GK = 15 \ cm\), \(AK = 12 \ cm\) |
| g) \(GK = 18 \ cm\), \(AK = 24 \ cm\) | q) \(GK = 9 \ cm\), \(AK = 22 \ cm\) |
| h) \(GK = 12 \ cm\), \(AK = 28 \ cm\) | r) \(GK = 20 \ cm\), \(AK = 17 \ cm\) |
| i) \(GK = 17 \ cm\), \(AK = 25 \ cm\) | s) \(GK = 11 \ cm\), \(AK = 14 \ cm\) |
| j) \(GK = 6 \ cm\), \(AK = 8 \ cm\) | t) \(GK = 19 \ cm\), \(AK = 30 \ cm\) |
MERKE:
Wenn du mit der Gegenkathete und der Ankathete arbeitest, verwendest du den Tangens. \[ \tan(\alpha)=\frac{\text{GK}}{\text{AK}} \]
Woher kommt der Name „Tangens“?
Der Name Tangens stammt aus dem Lateinischen.
Das lateinische Verb tangere bedeutet „berühren“. Das dazugehörige Wort tangens kann mit „berührend“ übersetzt werden.
Der Name hängt mit der Tangente an einem Kreis zusammen. Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis an einem bestimmten Punkt berührt. In der klassischen geometrischen Darstellung der Tangensfunktion zeichnet man eine solche Tangente an den Kreis.
Von einem Winkel im Kreismittelpunkt aus wird anschließend eine Gerade bis zur Tangente verlängert. Die dabei entstehende Strecke hängt von der Größe des Winkels ab und stellt den Tangenswert dar. Daher erhielt die Funktion den Namen Tangens: Sie ist mit der berührenden Geraden, der Tangente, verbunden.
Schon lange vor der heutigen Bezeichnung verwendeten Mathematiker ähnliche Berechnungen, zum Beispiel bei der Bestimmung von Schattenlängen. Der Name Tangens setzte sich in Europa jedoch erst im 16. Jahrhundert durch.
Der Begriff beschreibt somit direkt die geometrische Idee hinter der Funktion: Tangens kommt von „tangere“ – berühren.
Hinweis: Tangens und lineare Funktionen
Der Tangens hat außerdem einen engen Bezug zur Steigung linearer Funktionen.
Bei einer linearen Funktion beschreibt die Steigung, wie stark der Graph nach oben geht, wenn man nach rechts geht:
\[\text{Steigung} = \frac{\text{Höhenänderung}}{\text{waagerechte Änderung}}\]
Im rechtwinkligen Dreieck entspricht das:
\[\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\]
Der Tangens ist also die Steigung der Geraden, die mit der x-Achse den Winkel α bildet.
Aufgabe 4:
a) Zeichne die angegebene lineare Funktion in ein Koordinatensystem. Verwende ein Koordinatensystem von \(-10\) bis \(10\) auf beiden Achsen.
b) Lies die Steigung \(m\) direkt aus der Funktionsgleichung ab.
c) Zeichne ein Steigungsdreieck ein und beschrifte \(\Delta y\) als Gegenkathete \(GK\) und \(\Delta x\) als Ankathete \(AK\).
d) Berechne den Schnittwinkel \(\alpha\) der Geraden mit der \(x\)-Achse.
Verwende:
| \[ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{GK}}{\text{AK}} \quad \text{und} \quad \tan(\alpha)=m \quad \Rightarrow \quad \alpha=\tan^{-1}(m) \] |
| a) \(y=x+2\) | k) \(y=3x-4\) |
| b) \(y=2x-3\) | l) \(y=x-6\) |
| c) \(y=3x+1\) | m) \(y=4x-7\) |
| d) \(y=4x-5\) | n) \(y=2x+4\) |
| e) \(y=5x-8\) | o) \(y=5x+1\) |
| f) \(y=x+7\) | p) \(y=3x+6\) |
| g) \(y=2x-6\) | q) \(y=4x+3\) |
| h) \(y=3x-8\) | r) \(y=2x+1\) |
| i) \(y=4x+5\) | s) \(y=x-4\) |
| j) \(y=5x-2\) | t) \(y=5x-9\) |