Permutation
Definition: Fakultät
Die Schreibweise \(n!\) liest man als n Fakultät.
Dabei werden alle natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(n\) miteinander multipliziert.
Allgemein gilt:
\[ n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot ... \cdot 3\cdot 2\cdot 1 \]
Beispiel
\[ 4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24 \]
\[ 5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120 \]
Merke: Die Fakultät beschreibt, auf wie viele Arten man \(n\) verschiedene Elemente anordnen kann.
Aufgabe Ü1: Fakultäten berechnen
Berechne.
a) \(3!\)
b) \(4!\)
c) \(5!\)
d) \(6!\)
Aufgabe Ü2: Produkte als Fakultät erkennen
Schreibe als Fakultät, wenn es möglich ist.
a) \(3\cdot 2\cdot 1\)
b) \(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\)
c) \(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\)
d) \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\)
e) \(7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\)
Aufgabe Ü3: Produkte geschickt umschreiben
Schreibe die Produkte zuerst als Primfaktorzerlegung. Prüfe dann, ob daraus eine Fakultät entsteht.
a) \(8\cdot 3\)
b) \(8\cdot 15\)
c) \(9\cdot 8\cdot 5\)
d) \(16\cdot 45\)
Beispiel:
\[ 2\cdot 60 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 5! \]
Aufgabe Ü4: Möglichkeiten schrittweise zählen
Drei Kinder stellen sich in eine Reihe.
Für den ersten Platz gibt es \(3\) Möglichkeiten.
Für den zweiten Platz bleiben \(2\) Möglichkeiten.
Für den dritten Platz bleibt \(1\) Möglichkeit.
a) Ergänze die Rechnung:
\[ 3\cdot 2\cdot 1 = \underline{\hspace{2cm}} \]
b) Schreibe die Rechnung als Fakultät.
c) Erkläre, warum die Anzahl der Möglichkeiten immer kleiner wird.
Aufgabe Ü5: Bücher ins Regal stellen
Vier verschiedene Bücher sollen nebeneinander in ein Regal gestellt werden.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für den ersten Platz?
b) Wie viele Möglichkeiten bleiben für den zweiten Platz?
c) Wie viele Möglichkeiten bleiben für den dritten Platz?
d) Wie viele Möglichkeiten bleiben für den vierten Platz?
e) Schreibe die gesamte Rechnung als Produkt und als Fakultät.
Definition: Permutation
Eine Permutation ist eine Anordnung von Elementen. Dabei ist die Reihenfolge wichtig.
Beispiel
Die Permutationen der Buchstaben \(A\), \(B\) und \(C\) sind:
\[ ABC,\ ACB,\ BAC,\ BCA,\ CAB,\ CBA \]
Insgesamt gibt es also \(6\) verschiedene Anordnungen.
Man rechnet:
\[ 3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6 \]
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Sitzordnung
Vier Freunde \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) setzen sich nebeneinander auf eine Bank.
a) Wie viele verschiedene Sitzordnungen sind möglich?
b) Notiere alle möglichen Sitzordnungen.
Aufgabe 2: Reihenfolge beim Sportfest
Die Schülerinnen \(A\), \(B\) und \(C\) laufen nacheinander ins Ziel.
a) Wie viele verschiedene Zieleinläufe sind möglich?
b) Notiere alle möglichen Reihenfolgen.
Aufgabe 3: Bücher im Regal
Vier verschiedene Bücher \(W\), \(X\), \(Y\) und \(Z\) sollen nebeneinander in ein Regal gestellt werden.
a) Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es?
b) Berechne mit der Fakultät.
Aufgabe 4: Gruppenfoto
Fünf Personen \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) und \(E\) stellen sich für ein Foto in eine Reihe.
a) Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
b) Erkläre, warum man hier \(5!\) rechnet.
Aufgabe 5: Zwei Personen in bestimmter Reihenfolge
Die vier Personen \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) stellen sich in eine Reihe.
Es sollen nur die Möglichkeiten gezählt werden, bei denen \(A\) direkt vor \(B\) steht.
a) Notiere alle möglichen Reihenfolgen.
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Aufgabe 6: Zwei Buchstaben in bestimmter Reihenfolge
Aus den Buchstaben \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) werden alle möglichen Reihenfolgen gebildet.
Es zählen nur die Reihenfolgen, bei denen \(C\) vor \(D\) steht.
a) Notiere alle passenden Reihenfolgen.
b) Vergleiche die Anzahl mit der Gesamtzahl aller Permutationen.
Aufgabe 7: Startreihenfolge
Die fünf Läufer \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) und \(E\) bekommen Startplätze in einer Reihe.
Es sollen nur die Startreihenfolgen gezählt werden, bei denen \(A\) vor \(C\) steht.
a) Wie viele Reihenfolgen gibt es insgesamt ohne Einschränkung?
b) Wie viele Reihenfolgen erfüllen die Bedingung \(A\) vor \(C\)?
Aufgabe 8: Drei Elemente in bestimmter Reihenfolge
Die fünf Karten \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) und \(E\) werden in eine Reihe gelegt.
Es zählen nur die Reihenfolgen, bei denen \(A\) vor \(B\) und \(B\) vor \(C\) liegt.
Kurz:
\[ A \text{ vor } B \text{ vor } C \]
a) Notiere einige passende Reihenfolgen.
b) Wie viele Reihenfolgen sind möglich?
Aufgabe 9: Präsentationsreihenfolge
Sechs Gruppen \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) und \(F\) präsentieren nacheinander.
Die Gruppen \(B\), \(D\) und \(F\) sollen in dieser Reihenfolge vorkommen. Sie müssen aber nicht direkt hintereinander stehen.
a) Wie viele Präsentationsreihenfolgen gibt es insgesamt?
b) Wie viele Präsentationsreihenfolgen erfüllen die Bedingung \(B\) vor \(D\) vor \(F\)?
Aufgabe 10: Schwieriger
Die sechs Buchstaben \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) und \(F\) werden angeordnet.
Es gelten zwei Bedingungen:
\(A\) soll vor \(B\) stehen.
\(C\) soll vor \(D\) stehen.
a) Wie viele Anordnungen gibt es ohne Einschränkung?
b) Wie viele Anordnungen erfüllen beide Bedingungen?
c) Erkläre deine Rechnung.
Permutationen mit Dopplungen
Wenn einige Elemente mehrfach vorkommen, werden manche Anordnungen zunächst doppelt gezählt.
Deshalb teilt man durch die Fakultäten der mehrfach vorkommenden Elemente.
Allgemein gilt:
\[ \frac{n!}{a!\cdot b!\cdot c!\cdot ...} \]
Dabei ist \(n\) die Gesamtzahl aller Elemente. Die Zahlen \(a\), \(b\), \(c\), ... geben an, wie oft gleiche Elemente vorkommen.
Beispiel
Beim Wort \(EBBE\) gibt es \(4\) Buchstaben. Der Buchstabe \(B\) kommt \(2\)-mal vor und der Buchstabe \(E\) kommt \(2\)-mal vor.
\[ \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6 \]
Es gibt also \(6\) verschiedene Anordnungen.
Aufgabe 11: Buchstaben mit Dopplung
Aus den Buchstaben \(A\), \(A\), \(B\) und \(C\) werden verschiedene Anordnungen gebildet.
a) Wie viele Anordnungen wären möglich, wenn alle Buchstaben verschieden wären?
b) Warum werden einige Anordnungen doppelt gezählt?
c) Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es wirklich?
Aufgabe 12: Das Wort MAMA
Die Buchstaben des Wortes \(MAMA\) sollen neu angeordnet werden.
a) Wie viele Buchstaben hat das Wort insgesamt?
b) Welche Buchstaben kommen mehrfach vor?
c) Wie viele verschiedene Anordnungen sind möglich?
Aufgabe 13: Kugeln in einer Reihe
Es liegen fünf Kugeln in einer Reihe: zwei rote Kugeln \(R\), zwei blaue Kugeln \(B\) und eine grüne Kugel \(G\).
Die Kugeln gleicher Farbe sind nicht unterscheidbar.
a) Wie viele Anordnungen gäbe es, wenn alle fünf Kugeln verschieden wären?
b) Durch welche Dopplungen wird zu viel gezählt?
c) Wie viele verschiedene Farbreihenfolgen gibt es?
Aufgabe 14: Das Wort ANNA
Die Buchstaben des Wortes \(ANNA\) werden neu angeordnet.
a) Wie oft kommt der Buchstabe \(A\) vor?
b) Wie oft kommt der Buchstabe \(N\) vor?
c) Berechne die Anzahl der verschiedenen Anordnungen.
Aufgabe 15: Farbkarten
Sechs Karten werden nebeneinander gelegt: drei rote Karten \(R\), zwei gelbe Karten \(G\) und eine blaue Karte \(B\).
Karten gleicher Farbe sind nicht unterscheidbar.
a) Wie viele Anordnungen wären möglich, wenn alle Karten verschieden wären?
b) Welche mehrfach vorkommenden Karten müssen berücksichtigt werden?
c) Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es?
Aufgabe 16: Das Wort BANANE
Die Buchstaben des Wortes \(BANANE\) werden neu angeordnet.
a) Wie viele Buchstaben hat das Wort insgesamt?
b) Welche Buchstaben kommen mehrfach vor?
c) Wie viele verschiedene Anordnungen sind möglich?
Aufgabe 17: Urne mit farbigen Kugeln
In einer Urne liegen \(10\) Kugeln. Es gibt \(5\) schwarze Kugeln, \(3\) weiße Kugeln und \(2\) rote Kugeln.
Die Kugeln werden nacheinander alle gezogen und in der gezogenen Reihenfolge notiert.
Kugeln gleicher Farbe sind nicht unterscheidbar.
a) Wie viele verschiedene Farbfolgen sind möglich?
b) Begründe, warum man hier durch \(5!\), \(3!\) und \(2!\) teilen muss.
c) Berechne die Anzahl der Permutationen.
Aufgabe 18: MISSISSIPPI
Berechne die Anzahl der Permutationen des Wortes.
Permutationen von Zahlen
Aufgabe 19: Vierstellige Zahlen und Teilbarkeit durch 2
Aus den Ziffern \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) werden vierstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
a) Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Wie viele dieser Zahlen sind durch \(2\) teilbar?
c) Erkläre, welche Rolle die letzte Ziffer spielt.
Aufgabe 20: Vierstellige Zahlen und Teilbarkeit durch 5
Aus den Ziffern \(1\), \(2\), \(5\) und \(7\) werden vierstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
a) Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Wie viele dieser Zahlen sind durch \(5\) teilbar?
c) Begründe deine Antwort mit der Teilbarkeitsregel für \(5\).
Aufgabe 21: Teilbarkeit durch 3
Aus den Ziffern \(1\), \(2\), \(3\) und \(6\) werden vierstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
a) Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Prüfe mit der Quersumme, ob die gebildeten Zahlen durch \(3\) teilbar sind.
c) Wie viele dieser Zahlen sind durch \(3\) teilbar?
Aufgabe 22: Fünfstellige Zahlen und Teilbarkeit durch 2
Aus den Ziffern \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\) werden fünfstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
a) Wie viele verschiedene fünfstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Wie viele dieser Zahlen sind gerade?
c) Erkläre, warum nur bestimmte Endziffern möglich sind.
Aufgabe 23: Fünfstellige Zahlen und Teilbarkeit durch 5
Aus den Ziffern \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) und \(5\) werden fünfstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
Wichtig: Die Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen.
a) Wie viele verschiedene fünfstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Wie viele dieser Zahlen sind durch \(5\) teilbar?
c) Unterscheide die Fälle: letzte Ziffer \(0\) und letzte Ziffer \(5\).
Aufgabe 24: Teilbarkeit durch 4
Aus den Ziffern \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(6\) werden fünfstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
a) Wie viele verschiedene fünfstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Wie viele dieser Zahlen sind durch \(4\) teilbar?
c) Nutze die Regel: Eine Zahl ist durch \(4\) teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine durch \(4\) teilbare Zahl bilden.
Aufgabe 25: Gerade Zahlen mit einer festen Anfangsziffer
Aus den Ziffern \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) und \(6\) werden sechsstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
a) Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Wie viele dieser Zahlen beginnen mit \(1\)?
c) Wie viele dieser Zahlen beginnen mit \(1\) und sind durch \(2\) teilbar?
Aufgabe 26: Teilbarkeit durch 3 und durch 2
Aus den Ziffern \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) und \(6\) werden sechsstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
a) Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Sind alle diese Zahlen durch \(3\) teilbar? Begründe mit der Quersumme.
c) Wie viele dieser Zahlen sind durch \(2\) teilbar?
d) Wie viele dieser Zahlen sind sowohl durch \(2\) als auch durch \(3\) teilbar?
Aufgabe 27: Teilbarkeit durch 5 mit Null
Aus den Ziffern \(0\), \(2\), \(4\), \(5\), \(7\) und \(9\) werden sechsstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
Wichtig: Die Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen.
a) Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Wie viele dieser Zahlen sind durch \(5\) teilbar?
c) Warum muss man bei der Endziffer \(0\) anders zählen als bei der Endziffer \(5\)?
Aufgabe 28: Anspruchsvoll: Teilbarkeit durch 11
Aus den Ziffern \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) und \(7\) werden sechsstellige Zahlen gebildet. Jede Ziffer wird genau einmal verwendet.
a) Wie viele verschiedene sechsstellige Zahlen sind insgesamt möglich?
b) Nutze die Teilbarkeitsregel für \(11\):
Eine Zahl ist durch \(11\) teilbar, wenn die Differenz der Wechselsummen durch \(11\) teilbar ist.
c) Wie viele dieser Zahlen sind durch \(11\) teilbar?
d) Erkläre deine Zählstrategie.