Wahrscheinlichkeit und Laplace Experimente
Einstieg
Stellt euch vor, zwei Schüler, Lisa und Max, führen ein spannendes Experiment durch. Beide werfen jeweils 120 Mal einen speziellen Würfel. Dieser Würfel hat 3 Seiten mit der Zahl 6 und je eine Seite mit den Zahlen 1, 2 und 3. Sie wollen herausfinden, wie oft jede Zahl in ihren Würfen vorkommt.
Aufgabe:
a) Berechnet nun für jeden der beiden Schüler, wie oft jede Zahl (1, 2, 3 und 6) bei 120 Würfen des speziellen Würfels erwartungsgemäß vorkommen sollte. Nutzt dafür die Wahrscheinlichkeit und die Anzahl der Würfe.
b) Erklärt die Begriffe Zufallsexperiment und erwartete Häufigkeit im dargestellten Sachverhalt.
Der spezielle Würfel hat 6 Seiten, wobei die Zahl 6 auf drei Seiten erscheint und die Zahlen 1, 2 und 3 jeweils auf einer Seite.
Wahrscheinlichkeiten:
- Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, beträgt \(\frac{3}{6} = 0.5\) (da 3 von 6 Seiten eine 6 zeigen).
- Die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen 1, 2, und 3 betragen jeweils \(\frac{1}{6}\).
Erwartete Häufigkeiten:
- Für die Zahl 6: \(120 \cdot 0.5 = 60\)
- Für die Zahlen 1, 2 und 3: \(120 \cdot \frac{1}{6} = 20\) für jede Zahl.
Lisa und Max sollten also jeweils etwa 60 Mal die Zahl 6 und etwa 20 Mal die Zahlen 1, 2 und 3 würfeln.
Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der unter gleichen Bedingungen wiederholt durchgeführt werden kann und dessen Ergebnis nicht vorhersehbar ist. Im gegebenen Szenario ist das Werfen des speziellen Würfels ein Zufallsexperiment, da das Ergebnis jedes Wurfes (1, 2, 3 oder 6) nicht vorhergesagt werden kann, obwohl die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ergebnisse bekannt sind.
Erwartete Häufigkeit: Die erwartete Häufigkeit ist ein Maß dafür, wie oft ein bestimmtes Ergebnis in einer großen Anzahl von Wiederholungen eines Zufallsexperiments auftritt, basierend auf der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. Sie wird berechnet, indem die Gesamtzahl der Versuche mit der Wahrscheinlichkeit des interessierenden Ereignisses multipliziert wird. In diesem Fall berechnen wir, wie oft die Zahlen 1, 2, 3 und 6 bei 120 Würfen erwartungsgemäß erscheinen, indem wir die Anzahl der Würfe mit der Wahrscheinlichkeit jeder Zahl multiplizieren.
Definition: Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang ungewiss ist. Hierbei spielen die Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge, absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit eine zentrale Rolle.
Aufgabe 1: Entscheide und begründe, welche der folgenden Experimente Zufallsexperimente darstellen.
a) Würfeln mit einem fairen Würfel
b) Messen der Körpergröße einer Person
c) Ziehen einer Karte aus einem gemischten Kartenspiel
d) Berechnung der Fläche eines Quadrats
e) Werfen einer Münze
f) Zählen der Anzahl der Autos, die in einer Stunde an einer Kreuzung vorbeifahren
g) Ermitteln der durchschnittlichen Temperatur an einem Tag
h) Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln
i) Messen der Zeit, die benötigt wird, um eine Strecke zu laufen
j) Wählen einer zufälligen Person aus einer Gruppe
k) Lösen einer mathematischen Gleichung
l) Zufälliges Auswählen einer Telefonnummer aus einem Telefonbuch
Zufallsexperiment
Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar und jeder der sechs Würfelseiten hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Kein Zufallsexperiment
Die Körpergröße ist ein fester Wert, der durch Messung ermittelt wird und nicht zufällig variiert.
Zufallsexperiment
Jede Karte hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, und das Ergebnis ist unvorhersehbar.
Kein Zufallsexperiment
Die Fläche eines Quadrats wird durch eine festgelegte mathematische Formel bestimmt und ist nicht zufällig.
Zufallsexperiment
Das Ergebnis (Kopf oder Zahl) ist nicht vorhersagbar und beide Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.
Zufallsexperiment
Die genaue Anzahl der Autos ist unvorhersehbar und variiert zufällig.
Kein Zufallsexperiment
Die durchschnittliche Temperatur wird durch genaue Messungen bestimmt und ist kein zufälliger Wert.
Zufallsexperiment
Jede Kugel hat eine gleiche Chance gezogen zu werden, und das Ergebnis ist nicht vorhersagbar.
Kein Zufallsexperiment
Die Laufzeit wird durch die Leistung des Läufers bestimmt und ist kein zufälliger Wert.
Zufallsexperiment
Jede Person hat die gleiche Wahrscheinlichkeit ausgewählt zu werden, und das Ergebnis ist nicht vorhersagbar.
Kein Zufallsexperiment
Das Ergebnis der Lösung ist determiniert und nicht zufällig.
Zufallsexperiment
Jede Telefonnummer hat die gleiche Chance ausgewählt zu werden, und das Ergebnis ist unvorhersehbar.
Aufgabe 2: Bestimme zu jedem Zufallsexperiment die Ereignismenge \(\Omega\).
Beispiel: Ein Glücksrad mit den Feldern 1 bis 4 wird gedreht.
\[\Omega = \left\{1, \quad 2, \quad 3, \quad 4\right\}\]
a) Würfeln mit einem fairen Würfel (1-6)
b) Ziehen einer Karte aus einem gemischten Kartenspiel mit 32 Karten
c) Werfen einer Münze
d) Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit drei verschiedenfarbigen Kugeln (Rot, Grün, Blau)
Lösung: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lösung: Ω = {7♠, 8♠, 9♠, 10♠, J♠, Q♠, K♠, A♠,7♣, 8♣, 9♣, 10♣, J♣, Q♣, K♣, A♣, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦, A♦, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥, A♥}
Lösung: Ω = {Kopf, Zahl}
Lösung: Ω = {rot, blau, grün}
Definition: Laplace-Regel
Die Laplace-Regel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\) bei einem Zufallsexperiment mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen durch das Verhältnis der Anzahl der günstigen Ergebnisse zur Anzahl der möglichen Ergebnisse bestimmt wird. Die Formel lautet:
\[P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Beispiele
Beim Würfeln mit einem fairen Würfel gibt es 6 mögliche Ergebnisse (1, 2, 3, 4, 5, 6). Wenn das Ereignis "eine gerade Zahl" ist, dann sind die günstigen Ergebnisse 2, 4 und 6. Es gibt also 3 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, ist:
\[P(\textrm{"eine gerade Zahl würfeln"})=\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
Weitere Beispiele:
| \(P(\) \() = \frac{1}{6}\) | \(P(\) \() = \frac{1}{6}\) | \(P(\) \() = \frac{1}{6}\) |
| \(P(\) \() = \frac{1}{6}\) | \(P(\) \() = \frac{1}{6}\) | \(P(\) \() = \frac{1}{6}\) |
| \(P(\text{"ungerade Zahl"}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) | \(P(\text{"größer als 1"}) = \frac{5}{6}\) | \(P(\text{"Primzahl"}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) |
Aufgabe 1:
a) Ein Würfel wird geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu würfeln.
b) In einer Tüte befinden sich 10 rote und 5 blaue M&Ms. Gib die Wahrscheinlichkeit an, ein rotes M&M zu ziehen.
c) In einer Klasse gibt es 15 Schülerinnen und 10 Schüler. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler ausgelost wird.
d) Bei einer Tombola gibt es 50 Lose. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass man eines der zwei Sieglose zieht.
e) In einer Spielzeugkiste befinden sich 4 rote, 3 blaue und 2 grüne Spielzeuge. Berechne die Wahrscheinlichkeit, ein blaues Spielzeug zu ziehen.
f) Bei einem Glücksrad gibt es 8 gleich große Sektoren, von denen einer gewinnt. Gib die Wahrscheinlichkeit an, zu gewinnen.
g) In einem Kartenspiel gibt es insgesamt 52 Karten. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine Herz-Karte zu ziehen.
h) Bei einer Prüfung gibt es 5 mögliche Antwortmöglichkeiten, aber nur eine ist richtig. Gib die Wahrscheinlichkeit an, die richtige Antwort zu wählen.
i) Bei einem Fußballturnier nehmen 12 Mannschaften teil. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Mannschaft gewinnt.
j) In einem Kartenspiel gibt es 4 Farben mit jeweils 13 Karten. Gib die Wahrscheinlichkeit an, eine Pik-Karte zu ziehen.
k) In einem Aquarium schwimmen 10 rote und 15 blaue Fische. Berechne die Wahrscheinlichkeit, einen blauen Fisch zu fangen.
l) Bei einem Konzert gibt es 80 Plätze. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein bestimmter Platz gewählt wird.
m) In einer Schüssel befinden sich 6 grüne, 4 rote und 2 gelbe Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen.
n) Bei einer Lotterie gibt es insgesamt 1000 Lose. Gib die Wahrscheinlichkeit an, den Jackpot zu gewinnen.
o) Bei einem Spiel gibt es 7 mögliche Ausgänge, aber nur einer ist der Gewinner. Berechne die Wahrscheinlichkeit, das Spiel zu gewinnen.
Lösung:
\(\frac{1}{25}\) | \(\frac{1}{1000}\) | \(\frac{1}{52}\) |
\(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{3}\) |
\(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{2}{5}\) |
\(\frac{1}{80}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
\(\frac{1}{6}\) | \(\frac{2}{3}\) | \(\frac{1}{12}\) |