Satz des Pythagoras
Einstieg
Stell dir vor, du bist im Urlaub und hast einen wunderschönen Gehstock gefunden, den du unbedingt mit nach Hause nehmen möchtest. Der Gehstock ist genau 1 Meter lang. Leider ist er zu groß, um ihn als Handgepäck mit ins Flugzeug zu nehmen.
Dein Koffer hat die Maße 80 cm x 50 cm x 35 cm. Du fragst dich nun, ob es möglich ist, den Gehstock in deinem Koffer zu verstauen, ohne dass er herausragt.
Kannst du den Gehstock sicher in deinem Koffer unterbringen? Wie könntest du das herausfinden? Kann man das auch berechnen?
Erarbeitung
- Stelle ein Rechteck ein und notiere Breite, Höhe und Flächeninhalt.
- Schiebe das Rechteck zum Parallelogramm. Beobachte, was sich verändert und was gleich bleibt.
- Vergleiche die Flächeninhalte von Rechteck und Parallelogramm.
- Verschiebe die Teilfiguren so, dass wieder ein Rechteck entsteht. Nutze dabei das Andocken der Kanten.
- Formuliere eine Vermutung:
Schiebe das Rechteck zum Parallelogramm. Setze eine senkrechte Höhe ein, zerlege die Figur und ziehe die beiden Teilfiguren per Drag & Drop wieder zusammen.
Bedienung: Die gelbe Höhenlinie bleibt immer senkrecht zur Grundseite. Die farbigen Teilfiguren lassen sich per Maus oder Finger ziehen und können an passenden Kanten einrasten. Die Parallelogramm-Umrandung kann über die Checkbox ausgeblendet werden.
Einstellungen
Hilfssatz: Flächeninhalt von Rechteck und Parallelogramm
Ein Rechteck und ein Parallelogramm mit gleicher Grundseite und gleicher senkrechter Höhe haben den gleichen Flächeninhalt.
Satz des Pythagoras
Definition: Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck \(\triangle ABC\) gilt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse (die Seite gegenüber des rechten Winkels) gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten ist.
Formal ausgedrückt: Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck \(\triangle ABC\) mit der Hypotenuse \(c\) und den Katheten \(a\) und \(b\) haben, dann gilt:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Kathete² + Kathete² = Hypotenuse²
Beweis steuern
Wofür kann ich den Satz des Pythagoras benutzen (I)
Der Satz des Pythagoras ermöglicht es, zu überprüfen, ob drei gegebene Dreiecksseiten ein rechtwinkliges Dreieck ergeben. Dies ist nützlich in vielen Bereichen wie Bauwesen, Architektur und sogar in der Navigation.
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen
\[\sqrt{a^2 + b^2} = c\]
Die Werte der beiden Katheten einsetzen und überprüfen, ob die Länge der Hypotenuse übereinstimmt.
Aufgaben / Übung
Aufgabe 1: Überprüfe mithilfe des Satzes des Pythagoras, welche der angegebenen Dreiecke rechtwinklig sind.
| a) Seiten: 3 cm, 4 cm, 5 cm | k) Seiten: 7 cm, 10 cm, 12 cm |
| b) Seiten: 5 cm, 12 cm, 13 cm | l) Seiten: 8 cm, 15 cm, 18 cm |
| c) Seiten: 6 cm, 8 cm, 10 cm | m) Seiten: 9 cm, 10 cm, 14 cm |
| d) Seiten: 7 cm, 24 cm, 26 cm | n) Seiten: 10 cm, 24 cm, 27 cm |
| e) Seiten: 8 cm, 15 cm, 17 cm | o) Seiten: 8 cm, 15 cm, 16 cm |
| f) Seiten: 9 cm, 12 cm, 16 cm | p) Seiten: 3 cm, 4 cm, 6 cm |
| g) Seiten: 6 cm, 6 cm, 9 cm | q) Seiten: 12 cm, 35 cm, 37 cm |
| h) Seiten: 9 cm, 40 cm, 41 cm | r) Seiten: 9 cm, 12 cm, 18 cm |
| i) Seiten: 5 cm, 5 cm, 7 cm | s) Seiten: 5 cm, 13 cm, 14 cm |
| j) Seiten: 12 cm, 16 cm, 20 cm | t) Seiten: 11 cm, 60 cm, 61 cm |
Lösung:
| Rechtwinklig (8x) | Nicht rechtwinklig (12x) |
a), b), c), e), h), j), q), t)
Beispiel: Seiten: 7 cm, 10 cm, 12 cm Satz des Pythagoras anwenden \[\sqrt{a^2 + b^2} = c\] einsetzen: \[\sqrt{7^2 + 10^2 } = \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149} \approx 12,21\] Das angegebene Dreieck ist nicht rechtwinklig |
Beispiel: Seiten: 9 cm, 12 cm, 15 cm Satz des Pythagoras anwenden \[\sqrt{a^2 + b^2} = c\] einsetzen: \[\sqrt{9^2 + 12^2 } = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \] Das angegebene Dreieck ist rechtwinklig |
Aufgabe 2: Ordne den Katheten die richtige Hypotenuse zu, so dass die Seitenlängen ein rechtwinkliges Dreieck bilden.
| K | K | |
|---|---|---|
| 21 | 20 | ° |
| 28 | 45 | ° |
| 60 | 91 | ° |
| 65 | 72 | ° |
| 36 | 77 | ° |
| H | |
|---|---|
| ° | 97 |
| ° | 109 |
| ° | 53 |
| ° | 29 |
| ° | 85 |
Aufgabe 3: Du bist ein Hobbyhistoriker und interessierst dich für die Entfernungen zwischen historischen Orten in Mecklenburg-Vorpommern. Deine Aufgabe ist es, die Luftlinienentfernung zwischen dem Schweriner Schloss in Schwerin und dem Jagdschloss Granitz auf Rügen zu bestimmen. Diese Strecke überquert verschiedene geographische Merkmale wie Seen, Felder und Wälder.
Annahme für diese Aufgabe: Schwerin liegt auf den Koordinaten (0 km, 0 km) und das Jagdschloss Granitz auf Rügen auf (130 km, 90 km).
Aufgabe 4: Passt denn nun der Gehstock?
Du hast im Urlaub einen wunderschönen Gehstock entdeckt, der genau 1 Meter lang ist. Du möchtest diesen Gehstock unbedingt mit nach Hause nehmen, doch du stehst vor einem Problem: Der Gehstock ist zu groß, um ihn als Handgepäck im Flugzeug mitzunehmen, und du bist dir nicht sicher, ob er in deinen Koffer passt. Dein Koffer hat die Maße 80 cm x 50 cm x 35 cm.
Ziel: Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras sollst du herausfinden, ob der 1 Meter lange Gehstock in den Koffer passt, ohne dass er herausragt. Dabei sollst du annehmen, dass der Gehstock diagonal im Koffer von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke gelegt werden kann.
\[\Large e^2 = a^2 + b^2\]
\[\Large e = \sqrt{a^2 + b^2}\]
\[\Large d^2 = e^2 + c^2\]
\[\Large d = \sqrt{e^2 + c^2}\]
\(\Large d^2 = e^2 + c^2\) und \(\Large e^2 = a^2 + b^2\)
\[\Large d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]
\[\Large d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]
Einsetzen von a = 80 cm, b = 50 cm und c = 35 cm.
\[\Large\begin{align*} d &= \sqrt{80^2 + 50^2 + 35^2}\\ &\approx 100,62 \ cm\end{align*}\]
Aufgabe 5: Berechne die Länge des Pendels.
Aufgabe 6: Berechne die Entfernung der Sehne \(s\) zum Mittelpunkt \(M\).
Aufgabe:
Kabelaufgabe – Satz des Pythagoras
Die Kabel des Schaltkastens müssen erneuert werden.
- Fertige für jede Farbe eine eigene Planfigur an.
- Berechne die Länge der benötigten Kabel in der jeweiligen Farbe. Entnimm alle Längen der Zeichnung und runde auf zwei Nachkommastellen.
Hinweis: Die Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu.