Scheitelpunktform
Einstieg
Jonas hat beim Fußballspielen einen starken Abstoß gemacht. Die Flugbahn des Balls lässt sich näherungsweise durch eine Parabel beschreiben. Der Ball legte eine Weite von etwa 65 Metern zurück, bevor er den Boden wieder berührte.
Die Flugkurve kann durch die quadratische Funktion
\[f(x) = -0,04x^2 + 2,6x\] beschrieben werden, wobei \(x\) die horizontale Entfernung in Metern und \(f(x)\) die Höhe des Balls über dem Boden in Metern ist.
Aufgabe 1:
a) An welcher Stelle (nach wie vielen Metern) war der Ball vermutlich am höchsten?
Begründe deine Vermutung mit dem Verlauf der Flugbahn.
b) Bestimme die Höhe, die der Ball an dieser Stelle erreicht hat, indem du den Wert aus Teil a) in die Funktionsgleichung einsetzt.
c) Bestimme die Koordinaten des höchsten Punkts im zweidimensionalen Koordinatensystem.
Da der Ball vom Boden aus gestartet ist und nach 65 m wieder am Boden aufkommt, liegt der höchste Punkt in der Mitte der Flugbahn.
→ Der höchste Punkt liegt also bei \[x = \frac{0 + 65}{2} = 32,5 \ \text{Meter}\]
Man setzt den berechneten \(x\)-Wert in die Funktion ein.
\[\begin{align*}f(x) &= -0,04x^2 + 2,6x\\ \\ f(32,5) &= -0,04\cdot 32,5^2 + 2,6 \cdot 32,5\\ &= -0,04 \cdot 1056,25 + 84,5\\ &= -42,25 + 84,5\\ &= 42,25\end{align*}\]
Der Ball hatte eine maximale Höhe von \(42,25\) Metern.
\[\Large S(32,5 \mid 42,25 )\]
Aufgabe 2: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Definition: Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Punkt, an dem die Parabel entweder ihren höchsten oder ihren tiefsten Wert erreicht.
- Wenn die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt
- Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt
Der Scheitelpunkt liegt immer in der Mitte der Parabel und teilt sie symmetrisch. Die genaue Lage des Scheitelpunkts kann aus der Funktionsgleichung der Parabel abgelesen werden.
Aufgabe 3: Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion, indem du den Mittelwert der beiden Stellen berechnest. Bestimme anschließend den zugehörigen Funktionswert, indem du die Stelle in die Funktion einsetzt.
Beispiel: \(f(x) = x^2 - 8x + 15\) und \(f(2) = f(6)\) Die Funktionswerte an den Stellen 2 und 6 stimmen überein, daher muss sich der Scheitelpunkt mittig dazwischen befinden. \[x_S = \frac{2 + 6}{2} = 4\] y-Koordinate berechnen: \[\begin{align*}f(4) &= 4^2 - 8\cdot 4 + 15\\&= 16 - 32 + 15\\&= -1\end{align*}\] Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(4 \mid -1)\) |
a) \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) \(f(1) = f(5)\) | f) \(f(x) = -x^2 + 10x -24\) \(f(2) = f(8)\) |
b) \(f(x) = -2x^2 + 8x -6\) \(f(1) = f(3)\) | g) \(f(x) = 2x^2 - 12x + 20\) \(f(-1) = f(7)\) |
c) \(f(x) = x^2 + 4x + 1\) \(f(1) = f(-5)\) | h) \(f(x) = -0,25x^2 + 3x - 4\) \(f(4) = f(8)\) |
d) \(f(x) = -x^2 + 2x + 8\) \(f(-1) = f(3)\) | i) \(f(x) = x^2 - 10x + 21\) \(f(3) = f(7)\) |
e) \(f(x) = 0,5x^2 - 5x + 12\) \(f(3) = f(7)\) | j) \(f(x) = -3x^2 + 18x - 21\) \(f(1) = f(5)\) |
1. binomische Formel
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
2. binomische Formel
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Aufgabe 4: Schreibe als Summe, indem du die binomische Formel auflöst.
| a) \((x+5)^2\) | e) \((x-2)^2\) | i) \((x-7)^2\) |
| b) \((x-3)^2\) | f) \((x+9)^2\) | j) \((x-11)^2\) |
| c) \((x+1)^2\) | g) \((x-2)^2\) | k) \((x+3)^2\) |
| d) \((x+4)^2\) | h) \((x+7)^2\) | l) \((x+2,5)^2\) |
Aufgabe 5: Schreibe als binomische Formel.
| a) \(x^2 + 4x + 4\) | d) \(x^2 - 8x +16\) | g) \(x^2 + 16x + 64\) |
| b) \(x^2 - 6x + 9\) | e) \(x^2 - 10x + 25\) | h) \(x^2 -12x + 36\) |
| c) \(x^2 + 14x + 49\) | f) \(x^2 + 30x + 225\) | i) \(x^2 + 2x + 1\) |
Quadratische Ergänzung
Bei der quadratischen Ergänzung formt man einen quadratischen Term wie \[x^2 + bx + c\] so um, dass eine binomische Formel entsteht. Dazu ergänzt man den Term zu einem vollständigen Quadrat und gleicht die Veränderung durch Addition oder Subtraktion aus.
Aufgabe 6: Übertrage den Merkkasten und das Beispiel in dein Heft.
Aufgabe 7: Klammere einen Teil des Terms mithilfe der binomischen Formeln aus.
| a) \(x^2-6x + 5\) | g) \(x^2 - 2x + 3\) |
| b) \(x^2 + 8x + 12\) | h) \(x^2 + 4x + 8\) |
| c) \(x^2 - 4x + 1\) | i) \(x^2 - 8x + 20\) |
| d) \(x^2 + 2x + 5\) | j) \(x^2 + 10x + 29\) |
| e) \(x^2 - 10x + 24\) | k) \(x^2 - 12x + 10\) |
| f) \(x^2 + 6x + 7\) | l) \(x^2 + 12x + 41\) |
Beispiel
\[x^2 + \color{green} 6\color{black}x + 5\]
Halbiere den Koeefizienten von x (\(\frac{6}{2} = 3\)) und quadriere die Zahl anschließend \((3^2 = 9\)).
Addiere und subtrahiere dieses Ergebnis zum Term:
\[\underbrace{x^2 + 6x \color{red}+ 9}_{(x+3)^2} \color{red}- 9 \color{black} + 5\]
Durch die Addition können wir einen Teil des Terms mithilfe der binomischen Formel zusammenfassen.
\[(x+3)^2 -9 + 5\]
Wir fassen den verbliebenen Teil zusammen.
\[(x+3)^2 - 4\]
Aufgabe 8: Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion und zeichne die Parabel in ein geeignetes Koordinatensystem.
| a) \(f(x) = (x-3)^2+2\) | g) \(m(x) = (x-1)^2+3\) |
| b) \(g(x) = (x+1)^2+5\) | h) \(n(x) = (x-6)^2-7\) |
| c) \(h(x) = (x+4)^2-3\) | i) \(o(x) = (x+6)^2-7\) |
| d) \(i(x) = (x-2)^2+6\) | j) \(p(x) = (x+3)^2+2\) |
| e) \(k(x) = (x-5)^2-4\) | k) \(q(x) = (x-4)^2-1\) |
| f) \(l(x) = (x+2)^2+1\) | l) \(r(x) = (x-7)^2+5\) |
Aufgabe 9: Bringe in die Scheitelpunktform, bestimme den Scheitelpunkt und zeichne anschließend in ein geeignetes Koordinatensystem.
| a) \(f(x) = x^2 -4x + 7\) | d) \(f(x) = x^2 + 2x + 3\) |
| b) \(f(x) = x^2 + 10x + 18\) | e) \(f(x) = x^2 - 6x + 14\) |
| c) \(f(x) = x^2 - 8x + 15\) | f) \(f(x) = x^2 + 4x - 2\) |
Lösung:
| \((3 \mid 5 )\) | \((-2 \mid -6 )\) | \((-5 \mid -7 )\) |
| \((4 \mid -1 )\) | \((2 \mid 3 )\) | \((-1 \mid 2 )\) |
Aufgabe 10: Übertrage den Merkkasten in dein Heft.
Definition: Scheitelpunktform für quadratische Funktionen
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet \[f(x) = (x - d)^2 + e\]
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt direkt erkennbar bei \[S(d \mid e)\]
Ergänzung
In der Scheitelpunktform \[f(x) = (x-d)^2 + e\] wirkt sich die Zahl \(d\) entgegengesetzt zum Vorzeichen aus – ein „minus“ verschiebt den Graphen nach rechts und ein “plus” verschiebt den Graphen nach links.
Allgemein verändern Angaben beim \(x\) den Graphen in entgegengesetzter Richtung zur Vorzeichenintuition.
Beispiel: \(f(x) = -x^2 - 6x + 1\) \[\begin{align*}-x^2 -6x + 1 &= -\left(x^2 + 6x - 1\right)\\&= -\left(x^2 + 6x + 9 - 9 - 1\right)\\ &= -\left((x+3)^2 - 9 - 1\right)\\ &= -\left((x+3)^2-10\right)\\ &= -(x+3)^2 + 10\end{align*}\] |
Aufgabe 11: Brückenbogen
Ein Brückenbogen kann durch die Funktion
\(f(x) = -x² + 4x + 5\)
modelliert werden.
Frage: Bestimme den höchsten Punkt des Brückenbogens und gib die Scheitelpunktform der Funktion an.
Aufgabe 12: Werfer im Sport
Die Wurfparabel eines Balls wird durch
\(h(t) = -t² + 6t + 2\)
beschrieben, wobei t die Zeit in Sekunden ist.
Frage: Zu welchem Zeitpunkt erreicht der Ball seine maximale Höhe und wie hoch ist diese? Gib auch die Scheitelpunktform an.
Aufgabe 13: Gewinnfunktion
Ein Unternehmen beschreibt seinen Gewinn in Abhängigkeit von der produzierten Menge \(x\) durch:
\(G(x) = -x² + 10x - 16\)
Frage: Welche Produktionsmenge führt zum maximalen Gewinn? Wie hoch ist dieser? Gib die Scheitelpunktform an.
Aufgabe 14: Bahnparabel
Eine Achterbahn fährt eine Parabelbahn, die durch
\(y(x) = -x² + 2x + 3\)
modelliert wird.
Frage: Bestimme die höchste Stelle der Bahn. Gib auch die Scheitelpunktform an.
Aufgabe 15: Projektilexperiment
Ein Physiker wirft ein Objekt senkrecht nach oben. Der Höhenverlauf ist durch
\(s(t) = -t² + 8t\)
gegeben.
Frage: Wann ist das Objekt am höchsten Punkt und wie hoch ist es dann? Stelle die Funktion in Scheitelpunktform um.
Aufgabe 16: Stützbogen einer Brücke
Ein Stützbogen einer alten Steinbrücke hat die Form einer Parabel und kann beschrieben werden durch die Funktion:
\(h(x) = -x² + 6x - 8\)
Dabei ist \(h(x)\) die Höhe des Bogens in Metern in Abhängigkeit von der horizontalen Position \(x\).
Frage: Wie hoch ist der Stützbogen an seiner höchsten Stelle? Gib die Scheitelpunktform der Funktion an.
Aufgabe 17: Torbogen einer Kathedrale
Ein gotischer Torbogen einer Kathedrale lässt sich durch die Parabel
\(h(x) = -x² - 4x - 5\)
modellieren.
Frage: Wie hoch ist der Bogen in der Mitte? Bestimme den Scheitelpunkt und gib die Scheitelpunktform an.
Aufgabe 18: Sprungschanze
Die Flugkurve eines Skispringers wird durch
\(f(x) = -x² + 12x - 20\)
modelliert.
Frage: Wo befindet sich der höchste Punkt des Sprungs? Gib die Scheitelpunktform an.
Aufgabe 19: Verkaufsfunktion
Die Verkaufszahlen eines Produkts hängen von der Werbung \(x\) ab:
\(V(x) = -x² + 14x - 45\)
Frage: Wie viel Werbung muss gemacht werden, um die höchste Verkaufszahl zu erreichen? Gib die Scheitelpunktform an.
Aufgabe 20: Brunnenform
Ein Springbrunnen spritzt Wasser in Form einer Parabel:
\(h(x) = -x² +2x + 10\)
Frage: Bestimme die maximale Höhe des Wasserstrahls und gib die Scheitelpunktform an.
Aufgabe 21: Flugkurve eines Balls
Ein Fußball wird geschossen. Seine Höhe über dem Boden wird beschrieben durch
\(f(t) = -t² + 4t - 1\)
Frage: Wie hoch fliegt der Ball maximal? Gib die Scheitelpunktform an.